а в кожній точці позитивна. З метою наочності ми будемо ілюструвати деякі положення конкретними обчисленнями на прикладі ідеального газу з постійною теплоємністю, однак можна показати, що закономірності є загальними і справедливі для речовин з іншими термодинамічними властивостями. Єдина умова, яку накладається на ці властивості, - це щоб ударна адіабата у всіх точках була обернена опуклістю вниз. Нехай речовина після ударного стиснення зі стану А (р 0, V 0) переходить у стан В (p 1, V 1), зображуване точкою В, що лежить на ударній адіабаті.
За формулою (2.14) швидкість поширення ударної хвилі по невозмущенная речовині дається виразом 2==. (2.35)
Малюнок - 2.4. р, V-діаграма
НН - адіабата Гюгоньо,
РР - адіабата Пуассона,
КК - дотична до обох Адіабата в точці початкового стану А (V 0, p 0).
Графічно ця швидкість визначається нахилом прямої АВ, проведеної з початкового стану в кінцеве ((p 1 - p 0)/(V 0 -V l) одно тангенсу кута нахилу прямої). З рис. 2.4 видно, що чим вище кінцевий тиск (чим потужніший ударна хвиля), тим більше нахил прямої і тим більше швидкість хвилі. (Для ілюстрації на рис. 2.4 проведено дві прямі, АВ і АС.)
Подивимося, чим визначається початковий нахил ударної адіабати в точці А. Обчислимо похідну dp 1/dV 1 за допомогою формули (2.22) для ідеального газу з постійною теплоємністю:
. (2.36)
Взявши похідну в точці А, тобто поклавши V 1=V 0, отримаємо (dp 1/dV 1) 0 =. Але ця величина є не що інше, як нахил адіабати. Пуассона, що проходить через точку A: (dp/dV) S =. Таким чином, у точці А ударна адіабата стосується адіабати Пуассона, що проходить через цю точку. Звичайна адіабата РР, відповідна початковій ентропії газу S 0=S (P 0, V 0), також проведена на рис. 2.4. Дотик адіабат ??в початковій точці ілюструється і загальною формулою (2.14) для швидкості ударної хвилі. У межі слабкою хвилі, коли, ударна хвиля не відрізняється від звукової, зміна ентропії прагне до нуля, і швидкість хвилі D збігається зі швидкістю звуку:
. (2.37)
Взагалі ж нахил прямої АВ завжди більше нахилу дотичної до адіабаті в точці А, так що завжди.
Початковий нахил ударної адіабати визначається швидкістю звуку у вихідному стані. Безпосереднім обчисленням за формулами для ідеального газу з постійною теплоємністю можна переконатися в тому, що в точці А збігаються не тільки перші, але і другі похідні від адіабат ??Гюгоньо і Пуассона, тобто в точці А має місце торкання другого порядку. Це положення також є загальним.
Рисунок 2.5 - До геометричній інтерпретації прирощення енергії в ударній хвилі
Н - ударна адіабата,
Р - адіабата Пуассона.
Адиабата Гюгоньо всюди проходить вище звичайної адіабати, проведеної з початкової точки, як показано на рис. 2.4. Справді, при ударному стисненні від обсягу V 0 до обсягу V 1 lt; V 0 ентропія підвищується, а при адіабатичному - залишається незмінною. Але при однаковому обсязі тиск тим вище, чим більше ентропія.
Прирощення питомої внутрішньої енергії при ударному стисненні? 1 -? 0 від стану А до стану В, як видно з виразу (2.18) для ударної адіабати, чисельно дорівнює площі трапеції MABN, покритої на рис. 2.5 горизонтальній штрихуванням.
Якщо газ стиснути адиабатически зі стану А до того ж самого обсягу V 1 (до стану Q), то для цього потрібно здійснити роботу, чисельно рівну площі фігури MAQN, обмеженої зверху звичайної адіабати Р і заштрихованої вертикально. Ця площа дає і приріст внутрішньої енергії газу
(2.38)
(інтегрування ведеться при S=??S 0). Для того щоб привести газ в кінцевий стан В, необхідно його ще нагріти при постійному обсязі V 1, повідомивши йому кількість тепла, чисельно рівне різниці площ, заштрихованих горизонтально і вертикально, тобто рівне площі фігури ABQ. Ця площа і визначає зростання ентропії газу при ударному стисненні. Вона дорівнює
, (2.39)
де - деяка середня температура на відрізку прямої QB (при V=V 1=const).
У системі координат, в якій вихідний газ спочиває, він після стиснення набуває кінетичну енергію (на 1 г), рівну, згідно загальній формулі (2.16),
. (2.40)
Ця енергія чисельно дорівнює площі трикутника ABC на рис. 2.5, що доповнює трапецію MABN, площа якої відповідає, до прямокутника MCBN.
Площа цього прямокутника являє собою повну енергію,...
