повідомлену «поршнем» 1 г спочатку покоїться газу. У сильній ударній хвилі, коли, вона порівну ділиться між приростами внутрішньої і кінетичної енергій: площ. MABN площ. ABC:
(2.41)
Малюнок 2.6 - діаграма, яка пояснює співвідношення між швидкостями газу і звуку в ударній хвилі
Розберемо на діаграмі p, V співвідношення між швидкостями газу і звуку в кінцевому стані (рис. 2.6). Проведемо через точку В на адіабаті Н А, відповідної початковому стану А, нову Адіабата Н в, для якої точка В є початковою. З симетрії рівняння адіабати щодо перестановки індексів «0» і «1» випливає, що якщо, то. Іншими словами, адіабата Н в, формально продовжена в бік тисків, менших початкового, перетинає Адіабата Н А в точці А. Взаємне розташування адіабат ??Н А і Н в таке, як це показано на рис. 2.6, в чому легко переконатися на прикладі ідеального газу з постійною теплоємністю. Швидкість поширення хвилі щодо стислого газу визначається формулою (2.15)
(2.42)
Квадрат швидкості звуку в стиснутому газі в точці В дорівнює
(2.43)
Перша величина пропорційна тангенсу кута нахилу прямої ВА, а друга - тангенсу кута нахилу дотичної до ударної адіабати Н в в точці В (ударна адіабата Н в і адіабата Пуассона, що проходить через В, торкаються один одного). Взаємне розташування прямої ВА і адіабати Н в відповідає тому, що.
На відміну від адіабати Пуассона, адіабата Гюгоньо залежить від двох параметрів. Завдяки цьому можна шляхом стиснення газу декількома ударними хвилями, виходячи з даного початкового стану, прийти до того ж самого кінцевого станом, що і шляхом стиснення однією хвилею.
Так, наприклад, якщо пропустити по одноатомну газу сильну ударну хвилю, газ стиснеться в чотири рази, а якщо припустити одну за одною дві сильні хвилі, залишаючи незмінним кінцевий тиск, отримаємо стиснення в 16 разів.
У той же час, розбиваючи адіабатичний процес на скільки завгодно етапів, прийдемо до однієї і тієї ж щільності, якщо задано кінцевий тиск.
Це положення ілюструється діаграмою р, V рис. 2.7, де зображені адіабата Пуассона і кілька адіабат ??Гюгоньо, що відповідають стисненню газу послідовними ударними хвилями.
Малюнок 2.7 - До питання про одноразове і багаторазовому ударному і адіабатичному сжатіях газу до однакового тиску: Н А, Н В, Н С - ударні адіабати, для яких точки А, В, С є початковими; Р - адіабата Пуассона.
методичний інноваційний лекційний газодинаміка
2.5 Ударні хвилі слабкої інтенсивності
Розглянемо ударну хвилю слабкої інтенсивності, в якій скачки всіх газодинамічних параметрів можна розглядати як малі величини. При цьому поки не будемо робити ніяких припущень про термодинамічних властивостях речовини, виходячи тільки з законів збереження.
Розглядаючи внутрішню енергію як функцію ентропії і питомої обсягу, запишемо прирощення енергії в ударній хвилі у вигляді розкладання по малим приращениям незалежних змінних близько точки початкового стану:
(2.44)
Всі похідні в цьому розкладанні беруться в точці початкового стану V 0 S 0. Як ми зараз побачимо, приріст ентропії у хвилі S 1 - S 0 є величина третього порядку малості, якщо розглядати прирощення V 1 - V 0 як малу першого порядку. Тому, обмежуючись розкладанням внутрішньої енергії до величин третього порядку, можна опустити члени, пропорційні (S 1 - S 0) (V 1 - V 0), (V 1 - V 0) 2 і т.д. Згідно термодинамическому тотожності,
(2.45)
Тому
(2.46)
Підставами цей вираз в рівняння адіабати Гюгоньо (2.18) і розкладемо в правій частині її тиск p 1. Оскільки ліву частину рівності можна розкласти до величин третього порядку, в розкладанні тиску достатньо обмежитися членами другого порядку по різниці V 1 - V 0 і опустити член, що містить приріст ентропії, оскільки він дасть в правій частині доданок, пропорційне (S 1 - S 0 ) (V 1 - V 0), яке є величина більш високого порядку малості, ніж (V 1 - V 0) 3:
(2.47)
Виробляючи скорочення в рівнянні адіабати Гюгоньо підперті розкладаннями, отримаємо зв'язок прирощення ентропії з приростом обсягу:
(2.48)
Якщо виходити з рівняння адіабати Гюгоньо, записаного у формі (2.19), де замість внутрішньої енергії коштує ентальпія, отримаємо аналогічним шляхом
. (2.49)
У тотожності ...
