тиріччя з законом інерції, до цих обом нормальним видам. Назад, якщо форми і мають однакові ранги та однакові сигнатури, то вони приводяться до одного і того ж нормального вигляду і тому можуть бути переведені один в одного. p> Якщо дана квадратична форма в канонічному вигляді,
, (26)
з нерівними нулю дійсними коефіцієнтами, то ранг цієї форми дорівнює. Якщо наводити таку форму до нормального вигляду, то можна побачити, що позитивний індекс інерції форми дорівнює числу позитивних коефіцієнтів у правій частині рівності (3.9). Звідси і випливає такий результат:
Квадратична форма тоді і тільки тоді матиме форму (26) своїм канонічним виглядом, якщо ранг форми дорівнює, а позитивний індекс інерції цієї форми співпадає з числом позитивних коефіцієнтів у (26).
В§ 2.2 Розпадаються квадратичні форми
Перемножая будь-які дві лінійні форми від невідомих,
В
ми отримаємо, очевидно, деяку квадратичну форму. Не всяка квадратична форма може бути представлена ​​у вигляді добутку двох лінійних форм, і для цього необхідно ввести умову, за яких це має місце, тобто при яких квадратична форма є розпадається. p> Комплексна квадратична форма розпадається тоді і тільки тоді, якщо її ранг менше або дорівнює двом. Дійсна квадратична форма розпадається тоді і тільки тоді, якщо її ранг не більш одиниці, або ж він дорівнює нулю, а сигнатура дорівнює нулю. p> Для початку необхідно розглянути твір лінійних форм і. Якщо хоча б одна з цих форм нульова, то їх твір буде квадратичною формою з нульовими коефіцієнтами, тобто воно має ранг 0. Якщо лінійні форми і пропорційні,, причому і форма ненульова, то нехай, наприклад, коефіцієнт. Тоді невироджене лінійне перетворення
при
призводить квадратичну форму до виду
.
Праворуч стоїть квадратична форма рангу 1, а тому і квадратична форма мають ранг 1. Якщо ж, лінійні форми і не є пропорційними, то нехай, наприклад,. p> Тоді лінійне перетворення
,
,
при
буде невиродженим; воно призводить квадратичну форму до виду
.
Праворуч стоїть квадратична форма рангу 2, що має у разі дійсних коефіцієнтів сигнатуру 0.
Необхідно перейти до доказу зворотного затвердження. Квадратична форма рангу 0 може, звичайно, розглядатися як твір двох лінійних форм, одна з яких нульова. Далі, квадратична форма рангу 1 невироджених лінійним перетворенням приводиться до вигляду
,
тобто до виду
.
Висловлюючи лінійно через, вийде подання форми у вигляді добутку двох лінійних форм. Тоді справжня квадратична форма рангу 2 і сигнатури 0 наводиться невиродженим лінійним перетворенням до виду. p> До цього ж виду може бути приведена будь-яка комплексна квадратична форма рангу 2. Однак
,
але праворуч, після заміни та їх лінійними виразами через, стоятиме твір дво...
