ійсна квадратична форма може бути приведена до нормального вигляду багатьма різними перетвореннями, проте з точністю до нумерації невідомих вона наводиться лише до одного нормального вигляду. Це показує наступна важлива теорема, звана законом інерції дійсних квадратичних форм. p> Теорема. Число позитивних і число негативних квадратів в нормальному вигляді, до якого дана квадратична форма з дійсними коефіцієнтами дійсним невиродженим лінійним перетворенням, не залежать від вибору цього перетворення. p> Доказ. Нехай квадратична форма рангу від невідомих двома способами приведена до нормального вигляду:
В
Так як перехід від невідомих до невідомих був невиродженим лінійним перетворенням, то, назад, другі невідомі також будуть лінійно виражатися через перші з відмінним від нуля визначником:
.
Аналогічно,
,
причому визначник з коефіцієнтів знову відмінний від нуля. Коефіцієнти само як у (20), так і в (21) - дійсні числа. p> Можна припустити, що, і написати систему рівностей
В
Якщо ліві частини цих рівностей будуть замінені їх виразами з (20), і (21), вийде система лінійних однорідних рівнянь з невідомими. Число рівнянь в цій системі дорівнює менше числа невідомих, тому система має ненульовим дійсним рішенням. p> Необхідно замінити в рівності (19) усі і всі їх виразами (20) і (21), а потім підставити замість невідомих числа. Якщо через і будуть позначені значення невідомих і, отримувані після такої підстановці, то (19) перетворюється в рівність
(23)
Так як всі коефіцієнти в (20) і (21) дійсні, то всі квадрати, що входять в рівність (23), позитивні, а тому (23) тягне за собою рівність всіх цих квадратів; звідси випливає рівності
(24)
З іншого боку, по самому вибору чисел
(25)
Таким чином, система лінійних однорідних рівнянь, з невідомими володіє, зважаючи (24) і (25), ненульовим рішенням, тобто визначник цієї системи має дорівнювати нулю. Це суперечить, проте, тому, що перетворення (21) передбачалася невиродженим. Таке ж протиріччя буде, якщо. Звідси випливає рівність, що доводить теорему. p> Число позитивних квадратів в тій нормальній формі, до якої наводиться дана дійсна квадратична форма, називається позитивним індексом інерції цієї форми, число негативних квадратів - негативним індексом інерції, а різниця між позитивним і негативним індексами інерції - сигнатурою форми.
Теорема. Дві квадратичні форми від невідомих з дійсними коефіцієнтами тоді і тільки тоді переводяться один в одного невиродженими дійсними лінійними перетвореннями, якщо ці форми мають однакові ранги та однакові сигнатури. p> Доказ. Нехай форма переводиться в форму невиродженим дійсним перетворенням. Вже відомо, що перетворення не змінює рангу форми. Воно й не може міняти сигнатури, так як іншому випадку і наводилися б до різних нормальним видами, а тоді і форма наводилася б, в про...
