x 0 ), то отримаємо деяку іншу траєкторію, витікаючу з тієї ж точки x 0 ; знову змінимо управління u ( t) - отримаємо ще одну траєкторію і т . д. Таким чином, розглядаючи різні управління u ( t) , ми отримаємо багато траєкторій, що виходять з точки x 0 (рис. 12). (Зрозуміло, це не суперечить теоремі єдиності в теорії диференціальних рівнянь, так як, замінюючи функції u 1 ( t), ..., u r ( t) іншими функціями, ми переходимо від системи диференціальних рівнянь щодо фазових координат x 1 , ..., x n . )
Нагадаємо, що задача оптимального швидкодії полягає у знаходженні такого управління u ( t) , для якого фазова траєкторія x ( t) , відповідна цьому управлінню чинності рівняння (1.5), проходить через точку x 1 і перехід з x 0 у x 1 здійснюється за найкоротший час. Таке управління u ( t) будемо називати оптимальним управлінням (в сенсі швидкодії) ; точно так само відповідну траєкторію x ( t) буде називати оптимальної траєкторією .
4. Допустимі управління. Зазвичай керуючі параметри u 1 , ..., u r НЕ можуть брати абсолютно довільні значення, а підпорядковані деяким обмеженням. Так, наприклад, у разі об'єкта, описаного на стор 4, природно припустити, що сила u , що розвивається двигуном, не може бути як завгодно великий за величиною, а підпорядкована обмеженням О± ≤ u ≤ ОІ , де О± і ОІ - деякі постійні, характеризують двигун. Зокрема, при О± = в”Ђ 1, ОІ = 1 ми отримуємо обмеження в”Ђ 1 ≤ u ≤ 1, яке означає, що двигун може розвивати силу, спрямовану вздовж осі x 1 як в позитивному, так і в негативному напрямку, але не переважаючу одиниці за абсолютною величиною.
Для об'єктів, що містять r керуючих параметрів u 1 , ..., u r , в додатках часто зустрічається випадок, коли ці параметри можуть довільно змінюватися в таких межах:
α 1 ≤ u 1 ≤ β 1 , α 2 ≤ u 2 ≤ β 2 , ..., α r ≤ u r ≤ β r .
Інакше кажучи, кожна з величин u 1 , u 2 , ..., u r в рівняннях (1.2) являє собою окремий керуючий параметр, область зміни якого не залежить від значень інших
керуючих параметрів і задається нерівностя...
