Рівняння (1.1) являють собою закон зміни фазових координат з плином часу (з урахуванням впливу керуючого параметра), тобто представляють собою закон руху фазової точки у фазовій площині.
Ми розглянули лише один окремий випадок, але можна було б вказати цілий ряд інших прикладів, в яких закон руху об'єкта описується диференціальними рівняннями. Найчастіше всього (див. (1.1)) ці рівняння дають вираження похідних від фазових координат через самі фазові координати і керуючі параметри, тобто мають вигляд
(1.2)
де f 1 , f 2 , ..., f n - деякі функції, які визначаються внутрішнім пристроєм об'єкта.
Надалі ми зосередимо свою увагу саме на таких об'єктах (рис. 2), закон руху яких описується системою диференціальних рівнянь виду (1.2). У векторній формі систему (1.2) можна записати у вигляді
(1.3)
де x в”Ђ вектор з координатами x 1 , ..., x n , u - вектор з координатами u 1 , ..., u r і, нарешті, f ( x, u ) - вектор, координатами якого служать праві частини системи (1.2).
Зрозуміло, неможливо вирішити систему диференціальних рівнянь (1.2) (тобто знайти закон руху об'єкта), не знаючи яким чином будуть змінюватися з плином часу керуючі параметри u 1 , u 2 , ..., u r . Навпаки, знаючи поведінку величин u 1 , u 2 , ..., u r , тобто знаючи керуючі функції u 1 (t), u 2 (t), ..., u r (t) для t > t 0 ми зможемо з системи рівнянь
(1.4)
або, що те ж саме, з векторного рівняння
(1.5)
однозначно визначити рух об'єкта (при t > t 0 ), якщо нам відомо початкове фазовий стан об'єкта (у момент t = t 0 ). Інакше кажучи, завдання управління u (t) та початкової фазового стану x 0 однозначно визначає фазову траєкторію x (t) при t > t 0 , що узгоджується зі зробленими раніше (стр. 1) припущеннями про властивості об'єкта.
Той факт, що завдання початкового фазового стану (у момент t = t 0 ) дозволяє з системи (1.4) однозначно визначити фазову траєкторію x (t), t > t 0 , випливає з теореми про існування та єдиності розв'язків системи диференціальних рівнянь. Припустимо, що, знаючи початкове фазовий стан x 0 і керування u (t) = (u 1 (t), ..., u r (t)), ми визначили фазову траєкторію x (t) (за допомогою системи (1.4)). Якщо ми змінимо управління u (t) (зберігши той же початковий стан ...
