ми
α i ≤ u i ≤ β i , i = 1 , ..., r. (1.6)
Зауважимо, що при r = 2 точки u = ( u 1 , u 2 ), координати яких підпорядковані неравенствам (1.6), заповнюють прямокутник; при r = 3 нерівності (1.6) визначають у просторі змінних u 1 , u 2 , u 3 прямокутний паралелепіпед; в разі довільного r кажуть, що нерівності (1.6) визначають r-мірний паралелепіпед.
У загальному випадку будемо вважати, що в відповідності з конструкцією об'єкта і умовами його експлуатації задано в просторі змінних u 1 , ..., u r деякий безліч U та керуючі параметри u 1 , u 2 , ..., u r повинні в кожний момент часу приймати лише такі значення, щоб точка u = ( u 1 , u 2 , ..., u r ) належала безлічі U . Інакше кажучи, дозволяється розглядати лише такі управління u ( t) , що u ( t) U для будь-якого t . Безліч U надалі будемо називати областю управління . Область управління U не завжди буде параллелепипедом; вона може мати геометрично більш-менш складний характер, тому що в силу конструкції об'єкта між керуючими параметрами u 1 , u 2 , ..., u r можуть існувати зв'язку, що виражаються, наприклад, рівняннями виду П† ( u 1 , u 2 , ..., u r ) = 0 або нерівностями П€ ( u 1 , u 2 , ..., u r ) ≤ 0. Так, якщо параметри u 1 , u 2 характеризують векторну величину на площині, модуль якої не перевершує одиниці, а напрям довільно, то ці параметри підпорядковані тільки одному умові
( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 ─ 1 ≤ 0 (1.7)
і область управління U являє собою коло. Надалі будемо припускати, що вказівка ​​галузі управління входить до математичне визначення об'єкта, тобто що для математичного завдання керованого об'єкта треба вказати закон його руху (1.2) і область управління U .
Нарешті, зробимо ще один, вельми істотне припущення про характер управлінь. Саме, будемо припускати, що В«руліВ», положення яких характеризуються керуючими параметрами u 1 , u 2 , ..., u r
