ядків у процесі прямого ходу, враховуються відповідні зміни знаків внаслідок перестановок рядків.
Метод Гаусса можна застосувати для звернення невиродженому () матриці.
Дійсно, нехай потрібно звернути невироджених матрицю,. Тоді, зробивши позначення,,, можна виписати матричне рівняння AX = E, де E - одинична матриця
, (7)
на основі якого можна записати ланцюжок СЛАР
,, ..., (8)
кожну з яких можна вирішити методом Гаусса. При цьому, оскільки верхня трикутна матриця для всіх цих СЛАР буде однією і те ж, то метод Гаусса застосовується один раз. Будується наступна розширена матриця:
(9)
В результаті застосування (n - 1) - го кроку методу Гауса отримуємо:
(10)
При цьому перший стовпець зворотної матриці визначається в зворотному ході методу Гауса з правою частиною b1, стовпець - з правою частиною b2 і так далі. Стовпець визначається з правою частиною bn. br/>
2.2 Комп'ютерна реалізація алгоритму розв'язання СЛАР
програма лістинг алгебраїчний рівняння
Комп'ютерна реалізація методу Гауса часто здійснюється з використанням LU-розкладання матриць.
LU - розкладання матриці A являє собою розкладання матриці A в твір нижньої і верхньої трикутних матриць, тобто , Де L - нижня трикутна матриця (матриця, у якої всі елементи, що знаходяться вище головної діагоналі рівні нулю, при), U - верхня трикутна матриця (матриця, у якої всі елементи, що знаходяться нижче головної діагоналі рівні нулю, uij = 0 при i > j).
LU - розкладання може бути побудовано з використанням описаного вище методу Гауса. Розглянемо k - ий крок методу Гаусса, на якому здійснюється обнулення поддіагональних елементів k - го стовпця матриці A (k-1). Як було описано вище, з цією метою використовується наступна операція:
(1)
,,.
У термінах матричних операцій така операція еквівалентна множенню, де елементи матриці Mk визначаються наступним чином
. (2)
Тобто матриця має вигляд
. (3)
При цьому вираз для зворотної операції запишеться у вигляді, де
(4)
В результаті прямого ходу методу Гаусса отримаємо,
,
де - верхня трикутна матриця, а - нижня трикутна матриця, що має вигляд
. (5)
Таким чином, шукане розкладання A = LU отримано.
Зокрема, для розглянутого вище прикладу 1. LU - розкладання матриці А має вигляд
В
Надалі LU - розкладання може бути ефективно використано при вирішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b. Дійсно, підставляючи LU - розкладання в СЛАР, отримаємо LUx = b, або Ux = L-1b. Тобто проце...
