Білоруський державний університет
Факультет прикладної математики та інформатики
Кафедра обчислювальної математики
Лабораторна робота №1
Тема: «Метод Гауса розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь»
Підготував: студент 2 курсу 2 групи
Зіньковіч І.А.
Викладач: Самусенко А.В.
Мінськ
Теоретичний матеріал
Нехай є система:
Прямий хід складається з n - 1 кроків винятку.
- й крок. Метою цього кроку є виключення невідомого x 1 з рівнянь з номерами i=2, 3, ..., n. Припустимо, що коефіцієнт a 11? 0. Будемо називати його головним елементом 1-го кроку.
Знайдемо величини q i1=a i1/a 11 (i=2, 3, ..., n), звані множниками 1-го кроку. Віднімемо послідовно з другого, третього, ..., n-го рівнянь системи перше рівняння, помножене відповідно на q 21, q 31, ..., q n1. Це дозволить перетворити на нуль коефіцієнти при x 1 у всіх рівняннях, крім першого. У результаті одержимо еквівалентну систему
11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n xn=b 1,22 (1) x 2 + a 23 (1) x 3 + ... + a 2n (1) xn=b 2 (1), 32 (1) x 2 + a 33 (1) x 3 + ... + a 3n (1) xn=b 3 (1), n2 (1) x 2 + a n3 (1) x 3 + ... + a nn (1) xn=bn (1).
в якій a ij (1) і b ij (1) обчислюються за формулами
ij (1)=a ij? q i1 a 1j, b i (1)=b i? q i1 b 1.
2-й крок. Метою цього кроку є ислючение невідомого x 2 з рівнянь з номерами i=3, 4, ..., n. Нехай a 22 (1)? 0, де a 22 (1) - коефіцієнт, званий головним (або ведучим) елементом 2-го кроку. Обчислимо множники 2-го кроку
i2=a i2 (1)/a 22 (1) (i=3, 4, ..., n)
і віднімемо послідовно з третього, четвертого, ..., n-го рівняння системи друге рівняння, помножене відповідно на q 32, q 42, ..., q m2. У результаті отримаємо систему
11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n xn=b 1, 22 (1) x 2 + a 23 (1) x 3 + ... + a 2n (1) xn=b 2 (1), 33 (2) x 3 + ... + a 3n (2) xn=b 3 (2), n3 (2) x 3 + ... + a nn (2) xn=bn (2).
Тут коефіцієнти a ij (2) і b ij (2) обчислюються за формулами: a ij (2)=a ij (1) - q i2 a 2j (1), bi (2)= bi (1) - q i2 b 2 (1).
Аналогічно проводяться інші кроки. Опишемо черговий k-й шаг.й крок. У припущенні, що головний (провідний) елемент k-го кроку a kk (k - 1) відмінний від нуля, обчислимо множники k-го кроку q ik=a ik (k - 1)/a kk (k - 1) (i =k + 1, ..., n) і віднімемо послідовно з (k + 1) -го, ..., n-го рівнянь отриманої на попередньому кроці системи ke рівняння, помножене відповідно на q k + 1, k, q k + 2, k, ..., q nk.
Після (n - 1) -го кроку виключення отримаємо систему рівнянь
11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n xn=b 1, 22 (1) x 2 + a 23 (1) x 3 + ... + a 2n (1) xn=b 2 (1), 33 (2) x 3 + ... + a 3n (2) xn=b 3 (2), nn (n - 1) xn=bn (n - 1).
матриця A (n - 1) якої є верхньою трикутною. На цьому обчислення прямого ходу закінчуються.
Зворотний хід. З останнього рівняння системи знаходимо xn. Підставляючи знайдене значення xn в передостаннє рівняння, одержимо xn - 1. Здійснюючи зворотний підстановку, далі послідовно знаходимо xn - 1, xn - 2, ..., x 1. Обчислення невідомих тут проводяться за формулами
n=bn (n - 1)/a nn (n - 1), k=(bn (k - 1) - ak, k + 1 (k - 1) x k + 1 -... - a kn (k - 1) xn)/a kk (k - 1), (k=n - 1, ..., 1).
Необхідність вибору головних елементів. Зауважимо, що обчислення множників, а також зворотна підстановка вимагають розподілу на головні елементи a kk (k - 1). Тому якщо один з головних елементів оказивиется рівним нулю, то схема єдиного ділення не може бути реалізована. Здоровий глузд підказує, що і в ситуації, коли всі головні елементи відмінні від нуля, але серед них є близькі до нуля, можливий неконтрольований ріст похибки.
лінійний алгебраїчний рівняння гаус
Умова завдання
Вирішити методом Гаусса систему лінійних рівнянь Ax=b, де A=D + C * k. Матриці D, C, b взяті з №41, k=0,2.
Код програми (main.cpp)
# include lt; fstream gt;
# include lt; cmath gt; namespace std; round (double x) {(x lt; 0)? ceil (x - 0.5): floor (x + 0.5);
} main () {SIZE; ** A; **...
