і прямого ходу. У зворотному ході визначаються невідомі.
Нехай дана СЛАР
(1)
Запишемо розширену матрицю системи:
(2)
На першому кроці алгоритму Гауса виберемо діагональний елемент (якщо він дорівнює 0, то перший рядок переставляємо з якою-небудь нижележащей рядком) і оголошуємо його ведучим, а відповідний рядок і стовпець, на перетині яких він стоїть - ведучими. Обнулив елементи a21, ..., an1 ведучого шпальти. Для цього сформуємо числа. Множачи провідну рядок на число, складаючи з другої і ставлячи результат на місце другого рядка, отримаємо замість елемента a21 нуль, а замість елементів, b2 - відповідно елементи, і т.д. Множачи провідну рядок на число, складаючи з n-ої рядком і ставлячи результат на місце n-го рядка, отримаємо замість елемента an1 нуль, а інші елементи цього рядка будуть мати вигляд:. Зберігаючи провідну рядок незмінною, отримаємо в результаті 1-го кроку алгоритму Гаусса наступну матрицю:
(3)
На другому кроці алгоритму Гаусса в якості ведучого елемента вибирається елемент (якщо він дорівнює нулю, то другий рядок взаємно міняємо на нижележащую рядок). Формуються числа, які ставляться близько провідного рядка. Множачи провідну рядок на число і складаючи результат з третім рядком, отримаємо замість елемента нуль, а замість елементів,, - елементи,, і так далі. Множачи провідну рядок на число, складаючи результат з n-ої рядком і ставлячи отриману суму на місце n-го рядка, отримаємо замість елемента нуль, а замість елементів,, - елементи,. Зберігаючи 1-шу і 2-у рядки матриці незмінними, отримаємо в результаті другого кроку алгоритму
Гаусса наступну матрицю:
(4)
Після (n-1) - го кроку алгоритму Гаусса отримуємо наступну розширену матрицю, яка містить верхню трикутну матрицю СЛАР:
(5)
Прямий хід алгоритму Гаусса завершений.
У зворотному ході алгоритму Гауса з останнього рівняння відразу визначається xn, з передостаннього - xn-1 і т.д. З першого рівняння визначається x1. br/>
(6)
Якщо елементи якого-небудь рядка матриці системи в результаті перетворень стали рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю, то СЛАР несовместна, оскільки не виконуються умови теореми Кронекера-Капеллі.
Якщо елементи якого-небудь рядка матриці системи і права частина в результаті перетворень стали рівними нулю, то СЛАР сумісна, але має нескінченну безліч рішень, получающееся за допомогою методу Гаусса для СЛАР порядку r, де r - ранг матриці вихідної СЛАР.
В результаті прямого ходу методу Гаусса можна обчислити визначник матриці A вихідної СЛАР:
В
При цьому за допомогою множника, де p - число перестановок р...
