кож околиця точки c як будь-який інтервал, що містить точку з, і e-околиця точки с (e> 0) - інтервал. e-околиця може бути задана у вигляді безлічі.
Безліч = називатимемо проколеної e-околицею точки с. Це є інтервал, з якого виключена точка с. p> На безлічі дійсних чисел вводяться основні операції - додавання і множення, а також відносини між дійсними числами - відносини порядку, що володіють такими властивостями.
Аксіоми складання
1. переместітельного закон додавання:
В
. Сполучний закон додавання:
В
3. (Властивість існування нуля в R). p>. (Існування протилежної числа в R). p> Аксіоми множення
. Переместітельний закон множення:
безліч число дійсне
В
6. Сполучний закон множення:
В
(властивість одиниці при множенні).
. (Існування зворотного числа в R). p>. Розподільний закон множення відносно додавання:
В
Аксіоми порядку
. (Ні для одного а не виконується співвідношення a . Для будь-яких двох різних дійсних чисел а, b виконується одна і тільки одне з співвідношень: a . (Якщо a . (Якщо a . (Якщо a> 0 і b> 0, то ab> 0). p> Аксіома повноти (безперервності)
. Якщо непусті множини А і В дійсних чисел такі, що для будь-яких і виконується нерівність a Аксіома повноти справедлива тільки в R. З даних аксіом можна вивести єдиність нуля і одиниці, існування та єдиність різниці і приватного. Зазначимо додатково властивості нерівностей, які широко використовуються в різних перетвореннях. p>. Якщо a 2. Якщо a -b. p> 3. Якщо a> 0, b <0, то ab <0, а якщо a <0, b <0, то ab> 0. p>. Якщо 0 . Якщо a 0, то ac . Якщо 0 0 <1, -1 <0.
. Для будь-яких позитивних чисел а і b знайдеться таке натуральне число n, що na> b (аксіома Архімеда). p> Зазвичай використовуються такі позначення числових множин:
N-безліч натуральних чисел;
Z-безліч цілих чисел;
Q-безліч раціональних чисел;
I-безліч ірраціональних чисел;
R-множина дійсних чисел;
R +-безліч дійсних позитивних чисел;
R_-безліч дійсних негативних чисел;
R0-безліч дійсних невід'ємних чисел;
З безліч комплексних чисел (з цим безліччю нам належить надалі познайомитися).
Введемо на множині дійсних чисел поняття обмеженості, яке далі буде активно використовуватися в міркуваннях.
Будемо називати безліч обмеженої зверху (знизу), якщо існує таке дійсне число М (m), що будь-який елемент задовольняє нерівності:
В
Число M називається верхня грань МНОЖИНИ A, а число m - нижня грань цієї множини.
Безлі...
