ч, обмежене зверху і знизу, називається обмеженим.
Безліч N натуральних чисел обмежено знизу, але не обмежена зверху. Безліч цілих чисел Z не обмежена ні знизу, ні зверху. p> Якщо розглянути безліч площ довільних трикутників, вписаних в коло діаметра D, то знизу воно обмежене нулем, а зверху - площею будь-якого багатокутника, що включає в себе коло (зокрема, площею описаного квадрата, рівною D2).
Очевидно, що всяке обмежене зверху (знизу) безліч має нескінченно багато верхніх (нижніх) граней. Виникає питання, чи є найменша з усіх верхніх меж і найбільша з усіх нижніх? p> Будемо називати число точної верхньою гранню обмеженого зверху множини А ГЊ R, якщо:
. є однією з верхніх граней множини А;
. є найменшою з верхніх граней множини А. Іншими словами, дійсне число є точною верхньою гранню множини А ГЊ R, якщо:
В В
Прийнято позначення
В
Аналогічно вводяться: - точна нижня грань обмеженого знизу множини А і відповідні позначення
В
Точні межі безлічі можуть йому як належати, так і не належати.
ТЕОРЕМА. Обмежене зверху (знизу) непорожнє безліч дійсних чисел має точну верхню (нижню) грань. p> Цю теорему ми приймемо без доведення. Наприклад, якщо, то верхньою межею можна вважати число 100, нижньої -10, а. Якщо ж, то. У другому прикладі точні межі даній безлічі не належать. p> На безлічі дійсних чисел можна виділити два непересічних підмножини алгебраїчних і трансцендентних чисел.
число алгебри називаються числа, які є коренями многочлена
В
коефіцієнти якого - цілі числа.
У вищій алгебрі доводиться, що безліч комплексних коренів многочлена звичайно й дорівнює n (комплексні числа є узагальненням дійсних). Безліч алгебраїчних чисел лічильно, воно включає в себе всі раціональні числа (так як числа виду
В
задовольняють рівняння
В
Доведено також, що існують алгебраїчні числа, які не є радикалами з раціональних чисел. Цей дуже важливий результат зупинив безплідні спроби знайти рішення рівнянь ступеня вище четвертої в радикалах. p> Безліч, що є різницею множин дійсних і алгебраїчних чисел, називають безліччю трансцендентних ЧИСЕЛ. Очевидно, кожне трансцендентне число не може бути коренем многочлена з цілими коефіцієнтами. Разом з тим, доказ трансцендентності яких окремих чисел викликало величезні труднощі. Лише в 1882 році професор Кенігсберзького університету Ф. Ліндеман зумів довести трансцендентність числа, звідки стала ясна неможливість вирішення завдання про квадратуру кола (побудувати за допомогою циркуля і лінійки квадрат, що має площу даного кола). Ми бачимо, що ідеї алгебри, аналізу, геометрії взаємно проникають одна в одну. p> Аксіоматичне введення дійсних чисел далеко не єдине. Ці числа можуть бути введені шляхом об'єднання безлічі раціональних і ірраціональних чисел, або ж як нескінченні десяткові дроби, або за допомогою перетинів на безлічі раціональних чи...
