дозволить домогтися однозначності в записі раціональних чисел. p> Введення раціональних чисел виявилося ще недостатнім для вирішення деяких завдань. Наприклад, діагональ квадрата зі стороною, рівною 1, не може бути представлена ​​раціональним числом. З'явилися нові числа - ірраціональні. Вже Аристотель намагався довести, що - число ірраціональне. Сукупність раціональних і ірраціональних чисел утворює безліч R дійсних чисел. Їх називають ще дійсне число. У математиці розглядаються різні способи введення дійсних чисел. Ми визначимо їх як нескінченні десяткові дроби виду
,
де - деяке ціле невід'ємне число, - цифри 0, 1, 2, ... , 9. З двох знаків В± береться тільки один: для позитивних чисел - знак +, для негативних чисел - знак -. Знак + зазвичай опускають. p> Раціональні числа представіми у вигляді нескінченних десяткових періодичних дробів, ірраціональні - у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Деякі раціональні числа є кінцевими десятковими дробами, однак вони можуть бути задані і у вигляді нескінченних десяткових дробів з нулем в періоді або ж у вигляді нескінченної десяткового дробу з цифрою 9 у періоді. Наприклад,
В
Або
.
Дійсні числа і називаються рівними в одному з таких випадків:
В В
і (за рівність з індексом слід опустити).
В іншому випадку вважають.
Порівняємо нерівні між собою числа. Тут можливі три випадки. p>. a і b - невід'ємні. При завжди знайдеться таке натуральне n (або n = 0), що і. Будемо вважати, що a> b, якщо an> bn і a . a - неотрицательно, b - негативно. Тоді будемо вважати a> b. p>. a і b - негативні. Будемо вважати, що a> b, якщо | a | <| b |, і a | b |. p> Запис означає, що або, або.
Безліч дійсних чисел R можна зобразити точками числової прямої, на якій вибрано початок відліку O, масштаб і позитивна орієнтація: точці М, що лежить праворуч від точки О, поставимо у відповідність число c> 0, яка дорівнює довжині відрізка ОМ, точці Р , розташованої ліворуч від точки О, - число d <0, де | d | - довжина відрізка ОР, а точці О - число 0. Приймемо без доведення, що між точками прямої і безліччю дійсних чисел існує взаємно однозначна відповідність. Ось чому безліч дійсних чисел називають числової прямої, а самі числа - точками. Таким чином, - безліч всіх дійсних чисел (числова пряма). p> Нагадаємо вже відому термінологію:
- відрізок (сегмент) - безліч всіх дійсних чисел x, що задовольняють нерівності;
- інтервал - безліч всіх дійсних значень x, що задовольняють нерівності;
або - напівінтервалу (полусегмент) - безліч всіх дійсних чисел x, що задовольняють нерівності або;
- напівпрямі - множини дійсних чисел, що задовольняють, відповідно, неравенствам:
В
Відрізок, інтервал, напівінтервалу, напівпряму і числову пряму будемо називати проміжками.
Розглядаються та...
