За допомогою перетворення
. (16)
У результаті метрика Шварцшильда приймає вигляд
, (17)
Де координата при і приймає значення на горизонті. Зручно ввести безрозмірну змінну, тоді
, (18)
і горизонту відповідає значення. R-область тепер описується як область. Легко переконатися, однак, що метрика (18) не змінюється при інверсії. Інакше кажучи, область являє собою ще одну R-область, точно таку ж, як вихідна, значення відповідає ще однієї просторової нескінченності, такий же, як вихідна (), а значення, де координатні сфери мають мінімальну площу, рівну, описує горловину в просторовому перерізі досліджуваного чотиривимірного різноманіття. Якби геометрія відрізнялася просторовим перетином, були б всі підстави говорити про КН. Проте все міняється через рівності при: це горизонт, завдяки якому чотиривимірна геометрія непродолжаемая в статистичній системі відліку. Для більш повного опису можна перейти, наприклад, до координат Круськала, в якому виявляються властивості повної геометрії простору-часу. З отриманої в результаті повної картини випливає, що метрика (18) описує лише дві R-області, представлені на діаграмі Круськала правим і лівим квадрантами. (Для порівняння: метрика (14) при описує лише одну з R-областей.) Сфера, удавана при погляді на формулу (18) кордоном між R-областями, виявляється при повному описі парою різних поверхонь, між якими є ціла T-область. Парадокс пояснюється, зокрема, тим, що горизонт (він же) не належить жодній з R-областей, а отже єдність їх опису метрикою (18) лише позірна, і координатні області та, які відповідають різним R-областям простору-часу, слід розглядати окремо.
У зв'язку з метрикою типу (18), що містять горизонти, іноді говорять про «непрохідності КН».
.1 Замкнуті временіподобние світові лінії
Можливість існування замкнутих временіподобних світових ліній приводить до поняття «машини часу».
Будемо називати простір-час M машиною часу, якщо M містить замкнуті временіподобние світові лінії.
Прикладами відомих рішень рівнянь Ейнштейна, що описують простору із замкнутими временіподобнимі лініями, можуть служити: простір-час нескінченно довгого жорстко обертового пилового циліндра (рішення Ван Стокума, 1937), що обертається всесвіт Геделя (1949), рішення Керра для обертається чорної діри, обертові космічні струни.
Для того, щоб замкнуті временіподобние світові лінії з'явилися всередині кротячих нір, необхідне обов'язкове виконання двох умов:
Кротова нора повинна бути рінгхолом, т. е. з'єднувати області однієї і тієї ж Всесвіту;
Кротова нора повинна обертатися зі швидкістю, близькою до швидкості світла.
Теоретичні роботи з фізики кротячих нір можна умовно розділити на два доповнюють один одного напрямки. В одних дослідники, заздалегідь припускаючи існування кротячих нір, обговорюють, що з цього може вийти. В інших вони (нерідко це ті ж самі автори) намагаються визначити, за яких умов - природних або штучних - кротові нори можуть виникнути і які тоді будуть їх властивості та особливості.
Зупинимося на питаннях «першого напряму». Розглянемо найбільш цікавий варіант кротові нори, коли вона з'єднує різні області одного і того ж простору-часу. Для початку припустимо, що десь в космічному просторі є стабільна Кротова нора, а поза нею простір-час плоске або майже плоске, де працюють закони спеціальної теорії відносності. В силу симетрії простору Маньківського очевидно, що нора може бути не тільки межгалактическим тунелем, а й прискорювачем, і навіть машиною часу. Справді, у нори дві плоскі асимптотики. У кожній з них можна вибрати систему відліку (СО) (для простоти вважаємо - інерційну), в якій гирлі кротові нори спочиває. Але нізвідки не випливає, що це одна і та ж СО для обох гирл. Далі, нехай навіть це одна і та ж СО і в областях, де розташовані гирла, яким-небудь чином синхронізовані годинник. Нізвідки не випливає, що, пройшовши крізь Кротова нору, мандрівник потрапить в ту ж епоху по цих узгодженим годинах - адже метрика Мінковського інваріантна щодо тимчасових зрушень. Іншими словами, навіть якщо нам звідки-небудь відомо, куди веде дана Кротова нора, ми не знаємо, в який час вона веде.
Инвариантность метрики Мінковського щодо перетворень від однієї інерціальної СО до іншої веде до того, що на виході з кротові нори мандрівник може опинитися в русі з будь-якою швидкістю, що не перевищує швидкість світла, щодо вихідної СО і (що важливіше, якщо гирла далекі один від одного) щодо навколишніх тел.
Таким чином, в залежності від положення гирл в просторі-часі залежать можлива роль і функція кротові нори.
Цікава й інша постановка питання: припустимо, ми навчилися створювати Кротова нору тут і зараз, з цілком макроскопічними параметрами, так що від одного гирла до іншого можна пройти крізь нору за лічені секунди, а ...
