/P>
Розміри окремих елементів можуть варіюватися - в областях з високим градієнтом напружень, температур і т.д. Розбиття в цих областях зазвичай вибирається дрібним, що істотно підвищує точність розрахунків. Можливість такого варіювання - важливе достоїнство методу кінцевих елементів.
При дискретизації області із застосуванням симплекс-елементів необхідно прагнути, щоб трикутник наближався за формою до рівностороннього трикутника, а тетраедри - до правильних тетраедра. Таке розбиття призводить до більш точних результатів.
Проводячи нумерацію вузлів, слід враховувати, що матриця коефіцієнтів системи лінійних рівнянь, до визначення коренів якої зводиться рішення крайової задачі (в методі кінцевих елементів така матриця називається матрицею жорсткості) має стрічкову структуру. Матриця називається стрічкової, якщо всі ненульові елементи і деякі нульові знаходяться між двома лініями, паралельними головній діагоналі, тобто a ik=0 для всіх i, k таких, що ik gt; m, де m lt; lt; n. Шириною стрічки називається число 2m + 1. Всі компоненти матриці поза цією смуги дорівнюють нулю.
Поставимо задачу: подати інтерполяційний поліном у вигляді
,
де? i,? j,? k - вузлові значення скалярної величини?, а Ni, Nj, Nk - так звані «функції форми». Вони також являють собою лінійні поліноми виду
,
проте коефіцієнти поліномів підібрані так, щоб забезпечити виконання наступного фундаментального вимоги:
Ni=1 у вузлі i і нулю у вузлах j і k;
Nj=1 у вузлі j і нулю у вузлах i і k;
Nk=1 у вузлі k і нулю у вузлах i і j.
Крім того, в кожній внутрішній точці елемента сума значень функцій форми дорівнює одиниці.
Умови у вузлах елемента запишуться наступним чином:
? =? i при x=Xi, y=Yi;
? =? j при x=Xj, y=Yj;
? =? k при x=Xk, y=Yk.
Підставляючи ці умови в (6.1), отримуємо систему рівнянь
Вирішуючи цю систему, отримуємо
і
і
і
Відзначимо основні властивості розглянутого елемента: а) градієнти скалярною величини? у напрямку осей x і y постійні; б) функція? лінійно змінюється між двома будь-якими вузлами; в) будь-яка лінія, вздовж якої? приймає постійні значення, є пряма, що перетинає дві сторони елемента; г) функція? неперервна уздовж спільного кордону двох елементів; д) сума значень функцій форми в кожній внутрішній точці елемента дорівнює одиниці.
Інтерполяційний поліном для тетраедра має вигляд:
Для знаходження коефіцієнтів використовуємо умови у вузлах:
9. Постановка та шляхи вирішення оптимізаційних задач
Основне призначення математичних моделей полягає в тому, щоб допомогти фахівцеві обрати такий вплив (управління), яке забезпечило б одержання більш високої продуктивності, мінімальних витрат, кращих якісних показників продукції, що випускається і т.п., тобто оптимізувало б його.
Теорія оптимального управління охоплює найширше коло завдань з різних областей людської діяльності. Металургії також притаманне різноманіття задач теорії оптимального управління.
Пошук оптимуму - це пошук умов, що забезпечують мінімум або максимум якогось показника. Стосовно до промислового виробництва і, зокрема, до технологічних процесів - це знаходження і реалізація оптимальних параметрів машин і агрегатів, оптимальних режимних параметрів - швидкості, зусилля, температури і т.д.
Завдання вирішується легко, якщо показник?, який називають цільовою функцією, представляється математично залежним від декількох змінних x1, x2, ..., xn, за якими? дифференцируема і якими інженер може управляти, а область визначення цих змінних необмежена. У цьому випадку користуються, наприклад, необхідною умовою екстремуму для визначення оптимального набору параметрів x10, x20, ..., xn0 вирішують систему кінцевих рівнянь
Коли подібна система містить велику число рівнянь, то пошук оптимуму ефективніше вести прямий мінімізації функції? (x1, x2, ..., xn).
Подібний клас задач відомий і не розглядатиметься, хоча на практиці при оптимізації технології вони можуть зустрітися.
Ситуація істотно ускладнюється, коли область визначення параметрів управління x1, x2, ..., xn обмежена. Крім того в задачах оптимального керування цікавляться максимумом або мінімумом цільової функції незалежно від того гладка (дифференцируемая) вона чи ні. Для визначення x10, x20, ..., xn0 забезпечують максимум або мінімум? в цьому випадку не підходить необхідна умова екстремуму.
Звернемося до основної задачі математичного програмування - відшукання точки x0 опуклого безлічі X, в якій опукла функція? (x), визначена на X, досягає мінімального значення
Безліч X n-мірног...
