)=0 тоді і тільки тоді, коли x 1=x 2;
2)? (x 1, x 2) =? (x 2, x 1);
) для будь-яких трьох елементів x 1, x 2 і x 3? (x 1, x 2)? ? (X 1, x 3) +? (X 3, x 2).
На деякій множині D А визначений оператор А, якщо кожному елементу?, приналежному D А, приведений у відповідність по деякому закону один і тільки один елемент?.
Для знаходження наближеного розв'язку крайової задачі розробляється алгоритм, який видає послідовність наближених рішень xn.
Наближене рішення крайових задач у багатьох випадках вдається отримати із застосуванням так званих прямих методів. За визначенням прямими називаються такі методи наближеного рішення задач теорії диференціальних та інтегральних рівнянь, які зводять ці завдання до кінцевих системам алгебраїчних рівнянь.
До прямих методів наближеного розв'язання крайових задач відносяться проекційні методи.
Нехай? 1,? 2, ...,? n, ... є деяка повна лінійно незалежна система елементів D А. Назвемо її координатної системою, а її елементи - координатними функціями.
Якщо в просторі D А будь-яка послідовність є фундаментальною, то цей простір називається повним. Послідовність елементів метричного простору називається збіжної в собі або фундаментальної послідовністю якщо для будь-якого числа? Gt; 0 знайдеться таке число N? , Що? (X n, x m) lt ;? при n, m? N?.
Якщо S - непорожнє безліч елементів метричного простору, то кожен вираз виду a 1 j 1 + a 2 j 2 + ... + anjn, де a 1, a 2, ..., an дійсні числа, а a 1, a 2, ..., an? S називається лінійною комбінацією. Безліч всіх лінійних комбінацій елементів з S утворить векторний простір.
Непорожнє безліч S={? 1,? 2, ...,? n} попарно різних векторів лінійно залежно, якщо існують дійсні числа a 1, a 2, ..., an, не всі рівні нулю, такі, що
a 1 j 1 + a 2 j 2 + ... + anjn=0.
Якщо, навпаки, це співвідношення має місце тільки при a 1=a 2=...=an,=0, то S лінійно незалежно. Вектор x є лінійно залежним від S, коли він є лінійною комбінацією векторів з S, тобто якщо x? ? (S) .У випадку, якщо x? ? (S), то вектор називається лінійно незалежним від S.
Будемо шукати наближене рішення у вигляді
.
Такий метод розв'язання крайових задач будемо називати проекційним.
Елемент xn входить в область визначення оператора А, тобто при будь-якому натуральному n і будь-яких коефіцієнтах ai (1? i? n) xn належить DA. Критерії, якими керуються при виборі коефіцієнтів ai, можуть бути різними. Тому ми маємо справу з різними модифікаціями проекційного методу.
Багато з цих модифікацій є окремими випадками методу моментів або середньозважених нев'язок.
. Метод кінцевих елементів
Метод скінченних елементів (МСЕ) завоював широке визнання як ефективний метод розв'язання крайових задач математичної фізики.
В основі методу кінцевих елементів лежить ідея заміни неперервної функції її дискретної моделлю. При цьому: 1) в області визначення? фіксується кінцеве число точок - глобальних вузлів; 2) область? наближено представляється у вигляді сукупності кінцевого числа непересічних подобластей - кінцевих елементів, пов'язаних між собою певним чином у глобальних вузлах на їхніх кордонах; 3) розглянуту функцію локально апроксимують на кожному кінцевому елементі безперервними функціями, однозначно обумовленими значеннями функції в глобальних вузлах, що належать цьому елементу.
Процес дискретизації області включає: а) розбиття області на кінцеві елементи; б) нумерацію елементів і вузлів.
Розбиття області на елементи зводиться до завдання числа, розмірів і форми непересічних подобластей. При цьому використовують елементи трьох основних типів:
1) одномірні елементи;
2) двовимірні елементи (для дискретизації двовимірних областей зазвичай використовують два основних сімейства елементів - трикутники і чотирикутники);
) тривимірні елементи (при дискретизації тривимірних областей найбільш часто використовують тетраедр і паралелепіпед).
Слід зазначити, що найбільше практичне застосування отримали симплекс-елементи, до яких відносяться лінійний одновимірний елемент з двома вузлами, лінійний трикутник з трьома вузлами і лінійний тетраедр з чотирма вузлами. Симплексом в k-вимірному просторі називається опукле безліч S, яке визначається сукупністю k + 1 вершин (вузлів), які не лежать в одній (k - 1) -мірною гіперплощини. До достоїнств цих елементів слід віднести простоту в теоретичному відношенні, можливість апроксимації кордонів складної форми, наявність програм для ЕОМ, що дозволяють виробляти дискретизацию області. <...
