цієї суми, тобто
.
мінімум буде мати місце, если
або, в Розгорнутим виде
(5.2)
Кількість рівнянь в сістемі (5.2) дорівнює числу невідоміх.
У шкірному конкретному випадка досліджується питання про Існування розвязка системи рівнянь (5.2) та про Існування мінімуму Функції S (a, b, c) (див. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. Ч. 1: М, 1970, 456 с., іл.).
Розглянемо декілька примеров визначення Функції y=f (x, a, b, c).
Приклад 1.
Нехай проведено n вимірювань. Для шкірного значення x i ОТРИМАНО результат вимірювань y i . За розміщенню результатів вимірювань (сімейства точок) на площіні залежність y=f (x) около до лінійної:
.
Тоді функція S (a, b) має вигляд
.
Продіференцюємо Цю функцію по зміннім a, b :
.
Спростуємо записі, віділімо вішукані змінні a, b и представимо систему в виде
Аналіз системи (5.3) (див. Посилка на підручник Піскунова Н.С.) показує, что система має решение и что при значеннях a, b функція S (a, b) має мінімум.
Приклад 2.
Припустиме, что функція має вигляд
y=ax 2 + bx + c.
Тоді
.
Знайдёмо
.
Уявімо ЦІ Рівняння в виде системи
У Розгорнутим виде залишково
Розвязавші Цю систему, Знайдемо КОЕФІЦІЄНТИ a, b, c Вибраного Рівняння.
Приклад 3 .
Знайти функцію, яка відповідає результатам експеримент (див. таблицю 3)
Таблиця 3 - Вихідні дані до прикладу 3
х1235у342,50,5
Если розмістіті Позначки на коордінатній площіні, то можна пріпустіті лінійній характер Функції
y=a? x + b.
Знайдемо значення Коефіцієнтів при змінніх a, b (див. систему (5.3))
.
Система рівнянь має вигляд
Звідсі a =- 0,743; b =4,564, а Рівняння вішуканої залежності має вигляд:
y =4,54 - 0,743 x .
Графік прямої, яка відповідає Цьом рівнянню, наведено на рис. 5.2.
Малюнок 5.2 - Графік вішуканої лінійної Функції
До задачі №6
Щоб підібраті формулу, яка буде ВІДПОВІДАТИ залежності между двома представленими в виде графіка величинами, часто Використовують формулу Лагранжа [7, с. 578-584].
Гладкий функцію y (x) при ограниченной діапазонах Зміни x можна З НАДАННЯ точністю, представіті поліномом Ступені n:
.
Щоб найти всі КОЕФІЦІЄНТИ полінома, необходимо знаті n + 1 значень Функції для значень. У цьом випадка формула Лагранжа буде мати вигляд:
У шкірному доданку правої Частки чисельників представляет собою добуток n дужок вигляд (x - x k ), а знаменнік - такоже добуток n дужок вигляд (x i - x k < i>) . У ціх дужках i -номер члена формули, Який співпадає з номером ординат y i , что входити в цею доданок, а k пріймає всі значення від 1 до n + 1, крім i .
После помножені всех дужок и приведення подібніх членів отрімаємо поліном n -ої Ступені відносно x .
При набліженні поліномамі Завдяк зростанню Ступені полінома точність набліженої Функції растет. Степень полінома не винних буті меньш чем збільшеної на одиницю Загальної кількості мінімумів и максімумів Функції на часткі Зміни аргументу, что розглядається. У значенні обовязково вібрато значення x i в точках скрівлення крівої по графіку.
После визначення поліному необходимо побудуваті теоретичний графік залежності в спільніх координатно вісях з експериментального графіком y е (x) та в точках x m найбільшого розхождення їх найти похібкі набліження
.
Если похібка перевіщує граничну похібку експеримент, необходимо процес зближені повторити, збільшівші степень поліному.
Приклад
