з а) випливає, що позиції б1, б2, ..., б l належать різним орбітам і, таким чином, попарно не еквівалентні.
Задача 1 (закінчення). Дока-жем, що інваріант r універсальний. Позначимо через б i , таку розстановку фішок: одна фішка - в i -му секторі, всі інші - в п-м секторі. Під б n ми будемо, зрозуміло, розуміти розстановку, при якій всі n фішок - у n -му секторі.
Легко зміркувати, що будь-яка розстановка еквівалентна одній з позицій б1, б2, ... , Б n . Справді, нехай a - довільна розстановка фішок. Спробуємо зібрати всі п фішок у n -му секторі. Для цього будемо пересувати першу фішку, поки не заженемо її в п-ий сектор; одночасно, в Відповідно до правил, ми будемо переміщувати другу фішку в протилежну сторону. Потім заженемо в n -й сектор другу фішку, рухаючи в протилежну сторону третю фішку, і так далі - Аж до (п- 1)-й фішки. Коли ми заженемо п - 1 фішок у n -й сектор, п-я фішка буде в якомусь i-му секторі (i = 1, 2, ..., п). Це й означає, що a ~ бi .
Порахуємо r ( б i ) . При i не в рівному п:
x 1 (бi) == x 2 (бi) = ... = x i - 1 (бi) = < i> x i +1 (Бi) = ... = x n-1 (бi) = 0,
x i (бi) = 1,
x n (бi) - = n - 1. p> Отже, q (бi) - = i l + п (п- 1) і < b> r (бi) = i . Крім того, q (б n ) = nn і < i> r (б n ) = 0. Отже, інваріант r приймає принаймні п значень. p> По теоремі інваріант r універсальний і позиції б1, б2, ... , Б n попарно не еквівалентні. p> Оскільки r - універсальний інваріант, a ~ Р Г› r (а) = r (р) .
У попередньому параграфі ми порахували, що r ( w < i>) = r ( v ) Г› n-непарне. Отже, w ~ v , тоді і тільки тоді, коли п - непарне. Завдання, нарешті, вирішена повністю. p> Завдання
1.19. Доведіть, не використовуючи поняття інваріанта, що при непарному п позиції w і v еквіваленти.
1.20. Перевірте, що будь-яка функція від інваріанта знову є інваріантом: якщо f - інваріант і g - довільна числова функція, то і функція h : h <...
