i>
) = < i> nm + m і
r ( w ) = т =/0. Отже, при парному п отримуємо
r ( w < i>) =/ r ( v ) . Отже, при парному п позиції
w і
v НЕ еквівалентні.
Якщо ж п = 2т + 1, то q ( w ) = n ( m + 1 ) і r ( w ) = 0. Таким чином, при непарному п ми знову маємо: r (і) - r (v) . Виходить, що при непарному п питання про еквівалентність позицій w і v знову залишається відкритим.
Універсальний інваріант
Назвемо інваріант f універсальним, якщо на нееквівалентних позиціях він приймає різні значення: якщо a ~/ p , то f ( a ) В№ f ( p ) . Таким чином, для універсального інваріанта f : якщо f ( a ) = f (р) , то a ~ р .
Універсальний інваріант на кожній орбіті приймає своє значення. Оскільки для універсального інваріанта a ~ p Г› ; f ( a < i>) = f ( p ) , універсальний інваріант для будь пари позицій дозволяє встановити, еквівалентні ояі чи ні.
Як перевірити, що деякий інваріант f універсальний? Загального мето-да не існує. Іноді може допомогти наступна проста
Теорема. Якщо а) існують такі l позицій б1, б2, ..., б l , що кожна позиція a з М еквівалентна одній з них і b) інваріант f приймає, принаймні, l різних - значень, то f -універсальний інваріант і позиції б i , б j ( i =/ j ) no парно не еквівалентні.
З а) випливає, що існує не більш l орбіт. З b) випливає, що існує не менш l орбіт. Слідів-вательно, існує рівно l орбіт. Знову з b) випливає тепер, що інваріант f приймає рівно l значень і, значить, f універсальний. Нако-нец,...
