/i> ( < i> a ) = g ( f ( a )) (4) теж инвариантна. p> 1.21.Докажіте, що будь інваріант можна представити у вигляді функції від будь-якого універсального інваріанта: якщо h - інваріант, a f - універсальний інваріант, то існує така числова функція g , що виконується (4).
1.22.Определім через універсальний інваріант r з задачі 1 два нових інваріанта: f ( a ) = [ R ( a )] 2 ; g ( a ) = [ R (а) - 2] 2 . Доведіть, що інваріант f універсальний, а інваріант g не універсальний.
1.23. Нехай f - Універсальний інваріант. Яким умовам повинна задовольняти числова функція g, щоб інваріант h, певний рівністю (4), був універсальним?
Задача 2 . Дано 20 карток. На двох картках написана цифра 0, на двох - цифра 1, ... , На двох останніх - цифра 9. Чи можна розташувати ці картки в ряд так, щоб картки з 0 лежали поруч, між картками з 1 лежала рівно одна картка, ... , Між кар-точками з 9 лежало рівно 9 карток?
Це завдання можна вирішити без всяких інваріантів. Однак для нас вона цікава тим, що у неї є два принципово різних рішення, що використовують інваріанти.
Уявімо собі 20 ящиків, розташованих в ряд. Переформулюємо тепер наше завдання таким чином: чи можна розташувати картки по ящиках так, щоб виконувалися дві умови:
a) картки з 0 лежать в сусідніх ящиках, картки з 1 - через один ящик, ... , Картки з 9 - через дев'ять ящиків;
b) у кожному ящику лежить по одній картці?
Очевидно, порізно виконати кожне з умов дуже легко. Це і призводить до двом рішенням. p> Перше рішення . Поло-жим в перший ящик 10 карток:
Одну - з 0, одну - з 1, ... , Одну - з 9. Потім другу картку з 0 покладемо в другій ящик, другу картку з 1 - в третій ящик, .... другу картку з 9 - у одинадцятий скриньку. Умова а) виконується. Ми хочемо спробувати, не порушуючи його, так перекласти картки, щоб умова b) теж виконувалося. Дозволимо перекладати будь-які дві В«однойменніВ» (З однієї і тієї ж цифрою) картки через однакову кількість ящиків. Неважко помітити, що при довільному дозволеному переміщенні зрушення в сумі відбувається на парне число ящиків. Це підказує ідею взяти в якості інваріанта залишок від ділення на 2 суми номерів ящиків, у яких лежать картки.
Завдання
1.24. Закінчити намічене рішення .
Друге рішення . Покладемо в перший і другий ящики картки з 0, в третій і четвертий - картки з 1, ... , В дев'ятнадцятий і двадцятий - картки з 9. Цього разу виконана умова b). Дозволимо міняти місцями будь-які дві картки. При такому переміщенні відстань між вісьмома парами В«однойменнихВ» карток не змінюється, між двома - змінюється; таким чином, сума всіх ...
