I являє собою (m +1)-мірний об'єм прямого циліндроїда в просторі, побудованого на підставі S і обмеженого зверху даною поверхнею, де.
Перетворимо інтеграл (1) так, щоб нова область інтегрування цілком містилася всередині одиничного m-мірного куба. Нехай область S розташована в m-вимірному паралелепіпеді
В . (2)
Зробимо заміну змінних. (3)
Тоді, очевидно, m-мірний паралелепіпед (2) перетвориться в m-мірний одиничний куб (4)
і, отже, нова область інтегрування Пѓ, яка знаходиться за звичайними правилами, буде цілком розташована всередині цього куба.
Обчислюючи якобиан перетворення, будемо мати:
. Таким чином,, (5)
де. Ввівши позначення і, запишемо інтеграл (5) коротше в наступному вигляді:. (5 /)
Вкажемо спосіб обчислення інтеграла (5 /) методом випадкових випробувань.
Вибираємо m рівномірно розподілених на відрізку [0, 1] послідовностей випадкових чисел:
В
Точки можна розглядати як випадкові. Вибравши досить велика N число точок, перевіряємо, які з них належать області Пѓ (перша категорія), і які не належать їй (Друга категорія). Нехай
1. при i = 1, 2, ..., n (6)
2. при i = n +1, n +2, ..., N (6 /)
(для зручності ми тут змінюємо нумерацію точок). p> Зауважимо, що стосовно кордону Г області Пѓ слід заздалегідь домовитися, зараховуються Чи граничні точки або частина їх до області Пѓ, або не зараховує до неї. У загальному випадку при гладкій кордоні Г це не має істотного значення; в окремих випадках потрібно вирішувати питання з урахуванням конкретної обстановки.
Взявши досить велике число n точок, наближено можна покласти:; звідси шуканий інтеграл виражається формулою, де під Пѓ розуміється m-мірний обсяг області інтегрування Пѓ. Якщо обчислення об'єму Пѓ скрутно, то можна прийняти:, звідси. В окремому випадку, коли Пѓ є одиничний куб, перевірка стає зайвою, тобто n = N і ми маємо просто.
Висновок.
Метод Монте-Карло використовується дуже часто, деколи некритично і неефективним чином. Він має деякі очевидні переваги: ​​
а) Він не вимагає ніяких пропозицій про регулярність, за винятком квадратичної інтегрованості. Це може бути корисним, так як часто дуже складна функція, чиї властивості регулярності важко встановити.
б) Він призводить до здійсненним процедурі навіть у багатовимірному випадку, коли чисельне інтегрування незастосовне, наприклад, при числі вимірювань, великим 10.
в) Його легко застосовувати при малих обмеженнях або без попереднього аналізу задачі.
Він володіє, однак, деякими недоліками, а саме:
а) Межі помилки не визначені точно, але включають якусь випадковість. Це, однак, більш психологічна, ніж реальна, трудність.
б) Статична похибка убуває повільно. p> в) Необхідність мати випадкові числа. br/>
Додаток. ...
