мінус витрати: В
П = TR - TC,
де TR = p * Q; TC = TFC + TVC.
Знайдемо ціну одиниці продукції:
В
20p = 100 - Q p = 5 - Q/20.
Тоді
В
П = (5 - Q/20) Q - (50 + 2Q) = - Q 2 + 60Q - 1000 В® max
Знайдемо похідну: П '(Q) =-2Q +60.
Прирівняємо похідну до нуля: -2Q +60 = 0 Q = 30.
При переході через точку Q = 30 функція П (Q) змінює свій знак з плюc на мінус, отже, ця точка є точкою максимуму, і в ній функція прибутку досягає свого максимального значення. Таким чином, обсяг випуску, максимізує прибуток, дорівнює 30 одиницям продукції.
Задача № 2: Обсяг попиту на продукцію підприємства виражається формулою: Q D = 200 - 4p , а обсяг пропозиції - Q S = 6p - 100 . Величина змінних витрат на одиницю продукції TVC = 25 . Чого має дорівнювати ціна на одиницю продукції p , щоб прибуток П була максимальною?
Рішення: У точці споживчого рівноваги Q S = Q D , тобто
В
6p 0 - 100 = 200 - 4p 0 ,
звідки p 0 = 30 (ден.ед.) - рівноважна ціна, Гћ Q 0 = 80 (Од.) - рівноважний обсяг продукції. p> Зобразимо графічно криві попиту та пропозиції, а також точку споживчого рівноваги, що знаходиться на їх перетині (див. рис. 2).
Розглянемо три можливих варіанти:
1) p> p 0 , Гћ Q = Q D , тобто П = Q D p - Q D TVC = Q D (p - TVC) ,
підставимо значення і отримаємо:
В
П = (200 - 4p) * (p - 25) =-4p 2 + 300p - 5000.
2) p = p 0 , Гћ Q = Q D = Q S , Гћ Q продажу = Q 0 = 80 (Од.), Гћ
П 2 = 80 * (30 - 25) = 400 (ден. од.).
3) p
0 : Гћ Q = Q S , тобто П = Q S p - Q S TVC = Q S (p - TVC) ,
підставимо значення:
В
П = (6p - 100) (p - 25) = 6p 2 - 250p + 2500.
Далі випадки (1) і (3) можна вирішувати аналітично, підставляючи різні значення ціни з інтервалу її значень або як-небудь інакше, але набагато простіше виявити екстремуми прибутку через похідну:
1) П = - 4p 2 + 300p - 5000
П '= - 8p + 300;
- 8p + 300 = 0 Гћ p = 75/2 = 37,5 (ден. од.).
Значить, Q = Q D = 200 - 4 * 37,5 = 200 - 150 = 50 (од.), а
В
П 1 = - 4p 2 + 300p - 5000...
