ustify"> Аналогічно виходять третя компонента і всі інші.
Припустимо, що всі особини, що знаходилися у момент t0 в останній віковій групі до моменту t1 загинуть. Тому остання компонента вектора X (t1) складається лише з тих особин, які перейшли з попередньої вікової групи.
(9)
Коефіцієнти для кожної групи мають наступний зміст: - коефіцієнт народжуваності, b - коефіцієнт виживання. Вектор чисельностей вікових груп у момент часу t1 представимо у вигляді:
(10)
Таким чином, вектор X (t1) виходить множенням вектора X (t0) на матрицю Леслі
(11)
По діагоналі матриці стоять нулі, під діагональними елементами коефіцієнти виживання b, на першому рядку стоять члени, що характеризують число особин, що народилися від відповідних груп. Всі інші елементи матриці дорівнюють нулю.
(12)
Таким чином, знаючи структуру матриці Леслі L і початковий стан популяції - вектор-стовпець X (t0), - можна прогнозувати стан популяції в будь-який наперед заданий момент часу [11].
Нехай - власне число, а Рs-власний вектор матриці L, тоді
(13)
Власне число обчислюється як відношення довжин векторів Pi +1 до Pi:
(14)
Власний вектор Рs - формується ітераційний алгоритмом через велике число кроків. Процес ітерацій зупиняється у разі, якщо - залишається незмінним в заданих межах точності.
Матриця L залежить тільки від коефіцієнтів смертності та коефіцієнтів народжуваності для певних вікових груп. Власне число - це інтегральна характеристика демографічних умов життя (народжуваність і смертність), яка не залежить від вектора, що визначає структуру популяції, а що залежить тільки коефіцієнтів смертності і коефіцієнта народжуваності.
Якщо взяти будь-яку популяцію. Зафіксувати коефіцієнти смертності та коефіцієнти народжуваності. Потрібно визначити як змінюватиметься вектор, що задає структуру населення через великий часовий інтервал, коли відбулося багато змін поколінь (на нескінченності), тобто асимптотично. Виявляється, значення вектора встановлюються (фіксуються). І на кожному кроці лише множаться на коефіцієнт , який є власним числом матриці.
Якщо перейти до демографічного змістом введених понять, то - це швидкість розмноження популяції, коли її вікова структура стабілізувалася
Розглянемо дві матриці: матрицю Леслі L і матрицю L * сполучену (транспоновану) до матриці Леслі . Сполучена матриця має той же характеристичних поліном і той же спектр коренів (власних чисел), що й демографічна матриця. Характеристичний поліном має вигляд:
Det (A-E *)=(15)
Оскільки матриця не є симетричною, то власні вектора у неї інші. Представляє інтерес власний вектор, який буде додатковим до отриманого для демографічної матриці Леслі L. Він буде показувати репродуктивну цінність кожної вікової групи.
Можна вирішити наступну задачу. Вибрати i-ю групу населення і збільшити на певну кількість особин. Провівши моделювання можна визначити до яких наслідків це призведе, як асимптотично зміниться структура населення. Таким чином, можна визначити репродуктивну цінність кож...
