ебер, можна отримати поверхню F будь ейлеровой характеристики і будь-якого роду з будь-яким числом нескінченно віддалених точок (рис.20) Регулярність згладжування можна підвищити до класу за рахунок подальшого наближення середніми функціями.
Для згладжування плоских ребер сідлових поверхонь ряд загальних способів був розроблений Е.Р.Розендорном. У 1961 р їм був побудований приклад, спростували вважалася дуже правдоподібною до того часу гіпотезу про те, що будь-яка повна сідлова поверхню в буде необмеженою. Побудова такого прикладу вимагало проведення серії трудомістких обчислень. Чи не відтворюючи їх тут, наведемо досить детальну схему побудови прикладу Е.Р.Розендорна.
Візьмемо числову послідовність з такими властивостями:
(9)
Побудуємо в систему концентричних сфер з радіусами і центром у фіксованій точці О. Гранична для сфера S має радіус R. Побудуємо в граф G, що складається з прямолінійних відрізків і володіє наступними властивостями:
) граф G гомеоморфен графу Г - універсальної накриває букета двох окружнотей;
) вузли рангу графа G лежать на сфері (вважаємо, що);
) будь-які чотири точки - кінці чотирьох відрізків, що виходять з одного вузла графа, - будуть вершинами тетраедра, внутр якого лежить вузол; тетраедр, всередині якого лежить точка, правильний;
) довжина будь-якої ланки рангу графа G, тобто ланки, що з'єднує вузол рангу з вузлом рангу, більше;
) граф G не має самоперетинів.
Граф G може бути побудований. Відзначимо, що умова 4) вказує на те, що кути між ланками рангу і радіусами сфер, проведеними в їх кінці, прагнуть до, коли. Зі співвідношень (9) випливає, що довжина ламаної, що з'єднує точку з О, прагне, коли точка А йде до сфери S, тобто граф G сповнений щодо своєї внутрішньої метрики. Граф G є ніби скелетом raquo ;, навколо якого буде побудована шукана повна сідлова поверхню. Ця поверхня складається з однотипних деталей. Опишемо будова такої деталі. Візьмемо правильний тетраедр Т з вершинами в точках. Впишемо в Т чотирьох конуса з вершинами в точках, напрямними яких будуть окружності, вписані в грань, протилежну вершині. Візьмемо конус і через ребра проведемо площини, що ділять навпіл відповідні двогранні кути тетраедра Т. Ці площини отсекут від деяку частину з вершиною в точці, обмежену трьома дугами еліпсів з кінцями в центрах граней (рис.21). Аналогічно визначаються частини,, конусів,,. Побудуємо поверхню.
Поверхность має чотири конічні точки і шість плоских сідлових ребер, які лежать на краях поверхонь. Якщо з видалити точки і згладити плоскі сідлові ребра, то можна повчити гладку седловую поверхню Р, у якій чотири граничні точки (рис.22).
Тепер на кожній ланці графа G фіксуємо деяку точку. Чотири точки, що лежать в ланках, що мають загальну вершину, будуть вершинами тетраедра. Нехай - Афінний перетворення, що переводить Т в, а. Побудуємо поверхню
. (10)
(множини не буде поверхнею, так як точки не мають на околиці, Гомеоморфний колу.) В околиці кожної точки виправимо поверхню , Замінивши деяку частину цієї поверхні седловой кільцевої поверхнею, що стосується. Зробивши все такі заміни, отримаємо шукану повну гладку седловую поверхню F, лежачу всередині сфери S (рис.23).
Зазначені вище побудови можна дещо змінити і отримати в повну седловую поверхню класу, лежачу всередині S, у якої гауссова кривизна звертається в нуль лише на рахунковому безлічі ізольованих точок, відповідних центрів граней тетраедрів.
У 1915 р С.Н. Бернштейн досліджував будову повних сідлових поверхонь, заданих рівнянням над всією площиною.
Теорема 1: Нехай поверхню F задана в рівнянням
, (11)
де і визначена на всій площині. Якщо гауссова кривизна До поверхні Р непозитивним і є точки, в яких До lt; 0, то
. (12)
При доказі цієї теореми фактично використовується лише седлообразно поверхні F. Це дозволило Г.М.Адельсону-Вельск довести наступне узагальнення теореми С.Н.Бернштейна.
Теорема 2: Нехай сідлова поверхню F в задана рівнянням, де безперервна функція визначена на всій площині. Тоді, якщо, то F - циліндрична поверхня.
Крім того, С.Н. Бернштейн отримав наступне узагальнення теореми 1.
Теорема 3: Якщо поверхня F задовольняє умовам теореми 1, то можливо вказати таке, що нерівність
не можливо для всіх, яке б не ...
