домому сенсі протилежні за своїми властивостями опуклим поверхнях. Як і опуклі поверхні, вони можуть бути визначені чисто геометрично, а в регулярному випадку мають просту аналітичну характеристику - непозитивним гауссовой кривизни.
Нехай F - поверхня, обумовлена ??зануренням двовимірного різноманіття в. Кажуть, що площина P відсікає від F окраєць, якщо серед компонент прообразу множини F P в ??мається компонента G з компактним замиканням. Частина поверхні F, відповідна цій компоненті G, називається окрайцем. Очевидно, окраєць буде поверхнею, яка має кордон, що лежить в площині P. Приклади окрайців наведені на рис.16.
Поверхность F в називається седловой, якщо вона не допускає відсікання окрайців ніякої площиною. Прикладами сідлових поверхонь є однопорожнинний гіперболоїд, гіперболічний параболоїд, будь Лінійчата Поверхня, катеноїд і т.д.
З визначення випливає, що серед сідлових поверхонь в немає замкнутих поверхонь.
Визначення сідлових поверхонь не пов'язано, як і у випадку опуклих поверхонь, ні з якими вимогами регулярності. Це дозволяє досліджувати нерегулярні сідлові поверхні.
Теорема: Для того щоб поверхня F класу в була седловой, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці Х поверхні F її гауссова кривизна К (Х) була непозитивним.
Доказ.
Необхідність. Нехай F - сідлова поверхню. Припустимо, що в точці гауссова кривизна. Тоді деяка околиця точки на F лежить по одну сторону від дотичної площини Т до F в точці, причому порядок седлообразно дорівнює 0. Будь площина, паралельна Т, досить близька до Т і лежача з по одну сторону від Т, відсікає від F окраєць, що неможливо (рис.17).
Тому скрізь на F.
Достатність. Нехай скрізь на F. Припустимо, що площина Р відсікає від F окраєць Ф з кордоном. Безліч Ф компактно в. Тому можна взяти еліптичний параболоїд П, від якого Р відсікає таку окраєць, що Ф лежить між і Р, причому - порожня множина (рис.18). Розглянемо сімейство параболоїдів, отриманих з П аффінним стисненням до площини Р. У цьому сімействі знайдеться параболоїд, який має з Ф спільну точку, але Ф лежить між Р і окрайцем, відсіченою від Ф площиною Р. У точці поверхні F і стосуються, і всі нормальні кривизни у F і в цій точці мають один знак. Тому в точці гауссова кривизна. Отримали протиріччя з умовою теореми. Теорема доведена.
Слідство: На кожній окраєць регулярної поверхні існує точка, в якій гауссова кривизна позитивна.
Перейдемо тепер до побудови в прикладів повних поверхонь негативною гауссовой кривизни, ейлерова характеристика яких може приймати будь-яке значення. При цьому серед побудованих прикладів є поверхні будь-якого роду. Метод побудови таких поверхонь був вказаний Ж.Адамар в 1898 р
Зауважимо насамперед, що якщо F - гіперболічний параболоїд, то, а якщо F - однопорожнинний гіперболоїд, то. Будемо будувати тепер поверхню F, для якої.
Візьмемо два однопорожнинних гіперболоїда обертання і, заданих рівняннями
Гіперболоїди і перетинаються в площині Q: по гіперболі. Нехай поверхня отримана з і наступним чином: від відрізана частина, що лежить в двогранними вугіллі,; від відрізана частина, що лежить в двогранними вугіллі,; частини, що залишилися склеєні по галузі гіперболи, що лежить у верхній півплощині площині Q (рис.19). Уздовж поверхня має седлообразно ребро, а нижче площини P: по іншій гілці гіперболи - самоперетинів.
згладити ребро поверхні. Площина R: перетинає над відрізком по кривій, заданої рівнянням
(3)
Над відрізком задамо функцію
(4)
таку, що виконуються рівності
(5)
Коефіцієнти визначаються равенствами (5). На інтервалі задамо функцію
(6)
З рівностей (3) - (6) випливає, що і. Легко підрахувати, що. У смузі U: на площині Р визначимо функцію
. (7)
Її графіком буде поверхня негативної кривизни, оскільки
. (8)
Над смугою: поверхня збігається з гіперболоїдом, а над смугою: - з гіперболоїдом. Тому, замінюючи над смугою U частину поверхні, що лежить вище площини Р, поверхнею, отримаємо поверхню, в кожній точці якої гауссова кривизна негативна. У поверхні F ейлерова характеристика.
Очевидно, що, збільшуючи число вихідних гіперболоїдів і згладжуючи різне число одержані р...
