було дане число.
В якості додатку теореми 1 наведемо теорему Бернштейна про мінімальні поверхнях в. Нагадаємо, що мінімальною поверхнею називається поверхня, на якій середня кривизна.
Теорема 4: Якщо мінімальна поверхня задана над всією площиною рівнянням, то F є площиною.
. 2 Необмеженість сідлових трубок
Оскільки в немає замкнутих сідлових поверхонь, то питання про необмеженість повних сідлових поверхонь зводиться до отримання достатніх умов необмеженості сідлових трубок в. Те, що існують обмежені сідлові трубки в, показує приклад Е.Р.Розендорна.
Перейдемо до спеціального класу сідлових трубок - Седлова рогам. Саме, нижче буде доведена теорема про те, що в необмежений будь-який регулярний седловой ріг Т. Встановлення цього результату розпадається на два випадки, різних за способом докази. Спочатку розглядається такий ріг Т, на якому точна нижня грань довжин поясів, а потім ріг, для якого. Якщо, то ріг Т називаємо гострим, а якщо, то негострим.
Теорема 5 (Ю.Д.Бураго): Якщо Т - седловой ріг класу в і, то ріг Т необмежений в [2,399].
Теорема 6 (А.Л.Вернер): Гострий седловой регулярний (класу) ріг Т в необмежений [2,403].
Для доказу даної теореми потрібні наступні леми.
Лемма 1: Особлива точка А на обмеженому гострому Седлова розі Т не може бути отсекаема.
Лемма 2: Нехай F - повна поверхню або трубка в, задана -погруженіем f: Ф. Якщо неорієнтоване сферичне відображення: Ф щодо деякого непорожнього відкритого безлічі G має кратність не більш, то безліч всіх граничних точок для всіляких розбіжних послідовностей ніде не щільно в G, і F необмежена в.
Доведення теореми 6. Припустимо, що Т обмежений у. Тоді, в силу леми 1 особлива точка А роги Т неотсекаема, і Т А буде седловой поверхнею з краєм L і однієї особливою точкою - точкою А.
Можна вважати, що краєм роги Т буде крива L, що складалася з кінцевого числа плоских опуклих дуг,. Таку криву L можна побудувати з опуклих дуг нормальних перетинів роги Т, що не йдуть в асимптотичних напрямках. Для будь-якій площині Р в безліч Р L має не більше компонент, оскільки кожне безліч Р має не більше двох компонент.
Покажемо, що відображення має кінцеву кратність.
Так як точка А неотсекаема, то межа кожної компоненти G безлічі або має дугу на окружності Г =, а тому загальне число компонент в і при будь-яких і не більше. Зокрема, до точки О в множинах і підходить не більше ніж компонент, тобто точку А можна розглядати на Т як седловую точку, в якій порядок седлообразно не вище.
Фіксуємо деякий напрям. Нехай Т лежить між площинами і,. Позначимо через число компонент безлічі. Очевидно,, а. Будемо збільшувати від до і стежити за зміною. Значення збільшується на 1 за рахунок появи нової компоненти кожного разу, коли локально опорно до L щодо деякої компоненти, причому в околиці компоненти крива L лежить вище, тобто в точці мінімуму проекції кривої L на. Число таких точок на L позначимо через. Очевидно,.
Зменшення значення відбувається при всіх, коли площина стосується Т, на одиницю для кожної точки дотику і при, коли проходить через точку А. В останньому випадку зменшується на, де - число компонент безлічі, на межі яких лежить точка О.
Якщо через позначити число точок на Т, включаючи і точки на L, в яких дотичні площини до Т ортогональні до, то отримаємо, що
.
Отже,
.
З цього випливає, що має на кратність не вище. В силу леми 2, ріг Т повинен бути необмежений. Отримали протиріччя. Теорема доведена.
З теорем 5 і 6 випливає загальний результат про Седлова розі.
Теорема 7: Регулярний седловой ріг необмежений в.
Ця теорема дозволяє детально вивчити зовнішню будову седлового роги. Це вивчення було проведено А.Л.Вернером.
Лемма 3: мінімізує послідовність поясів на регулярному Седлова розі розходиться в, тобто не містить ніякої обмеженою в підпослідовності.
Лемма 4: Нехай Т - регулярний седловой ріг в, - минимизирующая послідовність поясів на Т і А - будь-яка фіксована точка в. Якщо точка, то будь-яка послідовність відрізків збігається до деякого променю при.
Лемма 5: Регулярний седловой ріг зовні сповнений в, тобто будь-яка послідовність точок, що розходиться на розі, розходиться в.
Лемма 6: Нехай ріг Т в задовольняє умовам, сформульованим вище. Якщо опукла крива - кордон, то Т лежить всере...
