ори однозначних чисел записують в особливу таблицю, звану таблицею множення однозначних чисел, і запам'ятовують.
Природно, що сенс множення зберігається і для багатозначних чисел, але змінюється техніка обчислень. Твір багатозначних чисел, як правило, знаходять, виконуючи множення стовпчиком, за певним алгоритмом. З'ясуємо, яким чином виникає цей алгоритм, які теоретичні факти лежать в його основі.
Помножимо, наприклад, стовпчиком 428 на 263.
х263
+ 2568
Бачимо, що для отримання відповіді нам довелося помножити 428 на 3, 6 і 2, тобто помножити багатозначне число на однозначне; але, помноживши на 6, результат записали по-особливому, помістивши одиниці числа 2568 під десятками числа 1 +284, оскільки множили на 60 і отримали число 25680, але нуль в кінці запису опустили. Доданок 856 - це результат множення на 2 сотні, тобто число 85 600. Крім того, нам довелося знайти суму багатозначних чисел.
Отже, щоб виконувати множення багатозначного числа на багатозначне, необхідно вміти:
множити багатозначне число на однозначне і на ступінь десяти;
складати багатозначні числа.
Спочатку розглянемо множення багатозначного числа на однозначне. Помножимо, наприклад, 428 на 3. Згідно з правилом запису чисел в десятковій системі числення, 428 можна представити у вигляді 4 102 + 2 10 + 8 і тоді 428
3=(4 102 + 2 10 + 8) 3. На підставі дистрибутивності множення відносно додавання отримаємо: (4 3) 102 + (2 3) 10 + 8 3, а на підставі властивості асоціативності множення: (4102) 3 + (2 10) 3 + 8 3. Твори в дужках можуть бути знайдені по таблиці множення однозначних чисел: 12 102 + 6 10 + 24. Бачимо, що множення багатозначного числа на однозначне звелося до множення однозначних чисел. Але щоб отримати остаточний результат, треба перетворити вираз 12 102 + 6 10 + 24 - коефіцієнти перед ступенями 10 повинні бути меншими 10. Для цього представимо число 12 у вигляді +1 10 + 2, а число 24 у вигляді 2 10 + 4. Потім в вираженні (1 10 + + 2) 102 + 6 10 + (2 10 + 4) розкриємо дужки: 1 103 + 2 102 + 6 10 +
+ 2 10 + 4. На підставі асоціативності додавання і дистрибутивності множення відносно додавання згрупуємо доданки 6 10 і 2 10 і винесемо 10 за дужки: 1103 + 2102 + (6+ 2) - - 10 + 4. Сума 6 + 2 є сума однозначних чисел, і може бути знайдена по таблиці складання: 1103 + 2
102 + 8 10 + 4. Отриманий вираз є десяткова запис числа +1284, тобто 428 3=1 284.
Таким чином, множення багатозначного числа на однозначне грунтується на:
записи чисел в десятковій системі числення;
властивості складання і множення;
таблицях додавання і множення однозначних чисел.
Виведемо правило множення багатозначного числа на однозначне в загальному вигляді. Нехай потрібно помножити х=ап 10 n + ап - 1 10n - 1 + ... + а0 на однозначне число у: х у=(ап 10 n + аn - 1 10 n - 1 + ... + а0) у= (ап у) 10 n + + (an - 1 у) 10 n - 1 + ... + а0 у, причому перетворення виконані на підставі властивостей множення. Після цього, використовуючи таблицю множення, замінюємо всі твори ак у, де 0 lt; до lt; п, відповідними значеннями ак у=bк 10 + з і отримуємо: х у=(bп 10 + сп) 10 n + (bn - 1 10 + + cn - 1) 10 n - 1 + ... + (b1 10 + с1) 10 + (b0 10 + с0)=bn 10 n + 1 + (сn + bn - 1) 10 n + ... + (с1 + b0) 10+ з0. По таблиці додавання замінюємо суми ск + bк - 1, де 0 lt; до lt; пік=0, 1, 2, ..., n, і, їх значеннями. Якщо, наприклад, С0 однозначно, то остання цифра твори дорівнює з0. Якщо ж с0=10 + т0, то остання цифра дорівнює т0, а до скобці (с1 + b0) треба додати 1. Продовжуючи цей процес, отримаємо десяткову запис числа х у.
Сформулюємо в загальному вигляді алгоритм множення багатозначного числа
х=Апап - 1 ... а1а0 на однозначне число у:
записують друге число під першим;
множать цифри розряду одиниць числа х на число у. Якщо твір менше 10, то записують його в розряд одиниць відповіді і переходять до наступного розряду (десятків);
якщо твір чисел одиниць числа х на число у більше або дорівнює 10, то представляють його у вигляді 10q - 1 + с0, де с0 - однозначне число; записують з0 в розряд одиниць відповіді і запам'ятовують q1, - перенесення в наступний розряд;
множать цифри розряду десятків на число у, додають до отриманого добутку число q1 і повторюють процес, описаний у пп. 2 і 3;
процес множення закінчується, коли виявиться помноженої цифра старшого розряду.
Як відомо, множення числа х на число виду 10k зводиться до приписування до десяткового запису даного числа до нулів. Покажемо це. Помножимо число х=аn 10n + an - 1 10 n - 1 + ... + а0 на 10 k, тобто (а n 1...
