багатозначного числа з багатозначного грунтується на:
способі запису числа в десятковій системі числення;
правилах віднімання числа із суми і суми з числа;
властивості дистрибутивності множення щодо вирахування;
таблиці складання однозначних чисел.
Неважко переконатися в тому, що якщо в якому-небудь розряді зменшуваного варто однозначне число, менше числа в тому ж розряді від'ємника, то в основі віднімання лежать ті ж теоретичні факти і таблиця складання однозначних чисел. Знайдемо, наприклад, різницю чисел 760 - 326 за правилом запису чисел в десятковій системі числення:
- 326=(7 102 + 6 10 + 0) - (3 102 + 2 10 + 6).
Оскільки з числа 0 не можна відняти 6, то виконати віднімання аналогічне тому, як було зроблено в першому випадку, неможливо. Тому візьмемо з числа 760 один десяток і представимо його у вигляді 10 одиниць - десяткова система числення дозволяє це зробити - тоді матимемо вираз: (7 102+ + 5 10 + 10) - (3 102 + 2 10 + 6). Якщо тепер скористатися правилами вирахування суми з числа і числа з суми, а також дистрибутивний множення щодо вирахування, то отримаємо вираз (7 - 3) 10 2 + (5 - 2) 10 + + (10 - 6) або 4102 + 3 10 + 4. Остання сума є запис числа 434 в десятковій системі числення. Значить, 760 - 326=434.
Розглянемо процес віднімання багатозначного числа з багатозначного в загальному вигляді.
Нехай дано два числа х=а n 10 n + аn - 1 10 n - 1+ ... + а0 і bn 10 n + bn - 1
10 n - 1+ ... + b0. Відомо також, що у lt; х. Використовуючи правила віднімання числа із суми і суми з числа, дистрибутивность множення щодо вирахування, можна записати, що
х-у=(а n - bп) 10 n + (а n - 1 - bn - 1) 10n - 1 + ... + (а0 - b0). (1)
Ця формула задає алгоритм віднімання, але за умови, що для всіх до виконується умова ак gt; bк. Якщо ж ця умова не виконується, то беремо найменшу до, для якого ак lt; Ьк. Нехай від - найменший індекс, такий, що т gt; до і ат? 0, а ат - 1=...=аk + 1=0. Має місце рівність ат 10 m== (ат - 1) 10m + + 9 - 10 m - 1 + ... + 9 10 k + 1 + 10- 10 k (наприклад, якщо m=4, к=1, ат=6, то 6-104== 5- 104 + 9- 103 + 9 102 + 10 10). Тому в рівності (1) вираз (ат - bт) 10m + ... + (ак-bк) 10 k можна замінити на (ат-bт - 1) 10m + (9-bm - 1)
10 m - 1 + ... + (9-bк + 1) 10k + 1 + (ак + 10-bк) 10 k. З того, що ак lt; bк lt; 10, випливає нерівність 0 lt; 10 + ак - bк lt; 10, а з того, що 0 lt; bs lt; 9, випливає нерівність 0 lt; 9 - bs lt; 10, де k + 1 lt; s lt; m - - 1. Тому в записі х -у=(аn - bn) 10 n + ... + (ат- bт - 1) 10 m + (9- bm - 1) 10m - 1 + ... + ( 9-bк +]) 10k + 1 + (ак + 10-bк) 10 k + ... + (а0-b0) всі коефіцієнти з індексом, меншим від, ненегативні і не перевершують 9. Застосовуючи далі ті ж перетворення до коефіцієнтів аn-- bn, ..., аm-bm - 1, через п кроків прийдемо до запису різниці х-у у вигляді х-у=сn - - 10n + сп - 1 10n - 1 + ... + с0, де для всіх до виконується нерівність 0 lt; ск lt; 10. Якщо при цьому виявиться, що сn=0, то треба відкинути перші складові, аж до першого коефіцієнта, відмінного від нуля.
У загальному вигляді алгоритм віднімання чисел в десятковій системі числення формулюють так:
записують від'ємник під зменшуваним так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним;
якщо цифра в розряді одиниць від'ємника не перевищує відповідної цифри зменшуваного, віднімають її, з цифри зменшуваного, записують різницю в розряд одиниць шуканого числа, після чого переходять до наступного розряду;
якщо ж цифра одиниць від'ємника більше одиниць зменшуваного, тобто b0 gt; а0, а цифра десятків зменшуваного відмінна від нуля, то зменшують цифру десятків зменшуваного на 1, одночасно збільшивши цифру одиниць зменшуваного на 10, після чого віднімають з числа 10 + а0 число b0 і записують різницю в розряді одиниць шуканого числа, далі переходять до наступного розряду ;
якщо цифра одиниць від'ємника більше цифри одиниць зменшуваного, що стоять в розряді десятків, сотень і т.д. зменшуваного, дорівнюють нулю, то беруть перший відмінну від нуля цифру в зменшуваному (після розряду одиниць), зменшують її на 1, всі цифри в молодших розрядах до розряду десятків включно збільшують на 9, а цифру в розряді одиниць на 10: віднімають b0 з 10 + + а0, записують різницю в розряді одиниць шуканого числа і переходять до наступного розряду;
в наступному розряді повторюють описаний процес;
віднімання закінчується, коли проводиться віднімання зі старшого розряду зменшуваного.
Алгоритм множення. Множення однозначних чисел можна виконати, грунтуючись на визначенні цієї дії. Але щоб всякий раз не звертатися до визначення, всі тв...
