0 n + an - 1 10n - 1 + ... + a0) 10k== аn 10n + k + a 10n + k - 1 + ... + а0 10k. Отриманий вираз є сумою розрядних доданків числа а n а n - 1 ... a1 a 0, так як одно а n 10 k + n + а n - 1 10n + k - 1 + + ... + а0 10 k + 0 10 k - 1 + 0 10k - 2 + ... + 0 10 + 0. Наприклад, 347103=(3
102 + 4 10 + 7) 103=3105 + 4104 + 7103=3105 + 4104 + 7103 + 0102 + 0 10 + 0=347 000.
Зауважимо ще, що множення на число у 10 k, де у - однозначне число, зводиться до множення на однозначне число в і на число 10 k. Наприклад, 52300=52 (3102)=(52 +3) 102=156 102=15 600.
Розглянемо тепер алгоритм множення багатозначного числа на багатозначне. Звернемося спочатку приміром, з якого починали, тобто до твору 428-263. Уявімо число 263 у вигляді суми 2 102 + 6 10 + 3 і запишемо твір 428 (2 102 + 6 10 + 3). Воно, згідно дистрибутивності множення відносно складання, одно 428 (2 102) + 428 (6 10) + 428 3. Звідси, застосувавши асоціативне властивість множення, отримаємо: (428 2)
102 + (428 6) 10 + 428 3. Бачимо, що множення багатозначного числа 428 на багатозначне число 263 звелося до множенню багатозначного числа 428 на однозначні числа 2, 6 і 3, а також на ступені 10.
Розглянемо множення багатозначного числа на багатозначне в загальному вигляді. Нехай хіу - багатозначні числа, причому у=bт 10т + bт - 1 10m - 1 + ... + + b0. В силу дистрибутивності множення відносно складання, а також асоціативності множення можна записати: х у=х (bт 10m + + bm - 1
10m - 1 + ... + b0)=(х bт) 10т + (х bт - 1) 10m - 1 + ... + х Ь0. Послідовно множачи число х на однозначні числа bт, bm - 1, ..., b0, а потім на 10 m, 10m - 1, 1, отримуємо доданки, сума яких дорівнює х у.
Приходимо до алгоритму множення числа х=Апап - 1 ... а1а0 на число
у=bт bт - 1 ... b1 b0:
записують множник х і під ним другий множник у;
множать число х на молодший розряд b0 числа у і записують твір х b0 під числом у;
множать число х на наступний розряд b1 числа у і записують твір х b1, але зі зрушенням на один розряд вліво, що відповідає множенню х b1, на 10;
продовжують обчислення творів до обчислення х bк;
отримані до + 1 твори складають.
Вивчення алгоритму множення багатозначних чисел в початковому курсі математики, як правило, проходить у відповідності з виділеними етапами. Відмінності є тільки в запису. Наприклад, при обгрунтуванні випадку множення багатозначного числа на однозначне пишуть: 428 3=(400 + 20 + + 8) 3=400
3 + 20 3 + 8 3=1 200 + 60 + 24=1 284. Основою виконаних перетворень є:
представлення першого множника у вигляді суми розрядних доданків (тобто запис числа в десятковій системі числення);
правило множення суми на число (або дистрибутивность множення відносно додавання);
множення «круглих» (тобто закінчуються нулями) чисел на однозначне число - воно зводиться до множення однозначних чисел.
Алгоритм розподілу. Коли мова йде про техніку ділення чисел, то цей процес розглядають як дію розподілу із залишком: розділити ціле невід'ємне число а на натуральне число b - значить знайти такі цілі невід'ємні числа q і r, що а=bq + r, причому 0 lt; r lt; b.
З'ясуємо спочатку, як здійснюється розподіл на однозначне число. Якщо на однозначне число ділять однозначне або двозначне (що не перевищує 89), то використовується таблиця множення однозначних чисел. Наприклад, приватним чисел 54 і 9 буде число 6, так як 9 6=54. Якщо ж треба розділити 51 на 9, то знаходять найближче до нього менше число, яке ділиться на 9 - це число 45, і, отже, неповним приватним при діленні 51 на 9 буде число 5. Щоб знайти залишок, треба з 51 відняти 45, тобто 51 - 45=6. Таким чином, 51=9 5 + + 6, тобто при діленні 51 на 9 виходить неповне приватне 5 і залишок, рівний 6. Записати це можна інакше, за допомогою ділення куточком:
_ 51 | _9
45 5
Будемо тепер ділити тризначне число на однозначне, наприклад, 378 на 4. Розділити 378 на 4 - значить знайти таке неповне приватне q і залишок г, що 378=4q + r, причому залишок r повинен задовольняти умові 0 lt; r lt; b, а неповне приватне q - умові 4q lt; 378 lt; 4 (q + 1).
Визначимо, скільки цифр буде міститися в запису числа q. Однозначним число q бути не може, так як тоді твір 4q може бути максимально одно 36 і, значить, не будуть виконуватися умови, сформульовані вище для r і q. Якщо число q двозначне, тобто якщо 10 lt; q lt; 100, то 40 lt; 4q lt; 400 і, отже, 40 lt; 378 lt; 400, що вірно. Значить, приватне чисел 378 і 4 - число двозначне.
Щоб знайти цифру д...
