Міністерство загальної та професійної освіти Російської Федерації
Саратовський державний технічний університет
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ рішення нелінійних рівнянь
Методичні вказівки
до самостійної роботи з курсу В«Вища математикаВ»
для студентів всіх спеціальностей
під контролем викладача
Схвалено
редакційно-видавничим радою
Саратовського державного
технічного університету
В В В В
Саратов 2008
Введення
Дана робота орієнтована на вивчення деяких чисельних методів наближеного рішення систем нелінійних рівнянь з будь-яким числом рівнянь, складання на базі цих методів обчислювальних схем алгоритмів і програм на алгоритмічній мові ФОРТРАН - IV. p> Методичні вказівки можуть бути використані як в процесі виконання курсової роботи, так і для вирішення практичних завдань.
Завдання справжніх вказівок полягає в тому, щоб навчити студентів розв'язувати системи нелінійних рівнянь з допомогою ЕОМ і потім отримані навички використовувати в курсовому і дипломному проектуванні.
Передбачається, що студенти прослухали лекційний курс з основ алгоритмічного мови ФОРТРАН - IV. p> В якості довідкового посібники з мов програмування може бути використана література. [5]
Чисельні методи для вирішення нелінійних рівнянь
Мета роботи: вивчення чисельних методів наближеного рішення нелінійних систем рівнянь, складання на базі обчислювальних схем алгоритмів; програм на алгоритмічній мові ФОРТРАН - IV, набуття практичних навичок налагодження та вирішення завдань з допомогою ЕОМ.
1. Визначення і умовні позначення
- конечномерное лінійне простір, елементами (точками, векторами) є групи з упорядкованих дійсних чисел, наприклад:
В
де - дійсні числа,.
У введена операція додавання елементів, тобто визначено відображення,
де
Воно володіє наступними властивостями:
1. , p> 2. , p> 3. , Що (елемент називається нульовим),
4. , Що (елемент називається протилежним елементу). p> У введена операція множення елементів на дійсні числа, тобто визначено відображення,
де
Воно володіє наступними властивостями:
1. , p> 2. br/>
Операції складання елементів і множення їх на числа задовольняють законам дистрибутивности:
1. , p> 2. . br/>
Кожній парі елементів поставлено у відповідність дійсне число, що позначається символом і зване скалярним твором, де
В
і виконані наступні умови:
1. , p> 2. , p> 3. , p> 4. , Причому - нульовий елемент.
Матриця виду
, (1)
В
де - дійсні числа (,) визначає лінійний оператор, що відображає лінійний простір в себе, а саме, для
,
де.
Над лінійними операторами, що діють у лінійному просторі, вводяться наступні операції:
1. додавання операторів, при цьому, якщо, то,
2. множення операторів на числа: при цьому, якщо, то,
3. множення операторів:, при цьому, якщо, то.
Зворотним до оператора називається оператор такий, що, де - одиничний оператор, який реалізує тотожне відображення, а саме,
.
Нехай число і елемент, такі, що.
Тоді число називається власним числом лінійного оператора, а елемент - власним вектором цього оператора, відповідним власному числу.
Лінійний оператор називається зв'язаним до оператора, якщо для будь-яких елементів виконується рівність.
Для всякого оператора зв'язаний оператор існує, единствен; якщо, то.
Справедливі рівності:
1. , p> 2. , p> 3. , p> 4. , Якщо існує. br/>
Кожному елементу ставиться у відповідність дійсне позитивне число, що позначається символом і зване нормою елемента.
Введемо в розгляд три норми для:
,
,
.
При цьому виконуються наступні нерівності:
.
Норма елемента задовольняє таким умовам (аксіомам норми):
1. , Причому, лише якщо,
2. , p> 3. . br/>
Кажуть, що послідовність елементів сходиться до елементу,
а саме,,
або,
якщо.
Визначена таким чином збіжність в скінченновимірному лінійному просторі називається збіжністю за нормою.
Безліч елементів, що задовольняють нерівності називається замкнутим (відкритим) кулею в просторі з центром у точці і позначається.
Кожному лінійному оператору, який визначається квадратною матрицею (1), ставиться в відповідність дійсне невід'ємне число, що позначається символом і зване нормою лінійного оператора.
Норма лінійного оператора задовольняє таким умовам аксіомам...
