ЗМІСТ
1. Методи рішення систем нелінійних рівнянь
. Векторна запис нелінійних систем
. Метод Ньютона, його реалізації та модифікації
.1 Метод Ньютона
.2 Модифікований метод Ньютона
.3 Метод Ньютона з послідовною апроксимацією матриць
.4 Різницевий метод Ньютона
.5 Узагальнення полюсного методу Ньютона на багатовимірний випадок
. Чисельний приклад
. Реалізація методу Ньютона в середовищі MATLAB
Список використаної літератури
1. Методи рішення систем нелінійних рівнянь
Розглядаємо метод Ньютона в різних модифікаціях (зокрема, n-полюсний метод Ньютона) рішення систем алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Показується зв'язок між даним завданням і за дачею безумовної мінімізації функції декількох змінних. З єдиних позицій вивчається збіжність основного і спрощеного методів Ньютона і методу, одержуваного з методу Ньютона застосуванням ітераційного процесу Шульца для наближеного звернення матриць Якобі. br/>
2. Векторна запис нелінійних систем. br/>
Нехай потрібно вирішити систему рівнянь
(2.1)
де-задані, взагалі кажучи, нелінійні (серед них можуть бути і лінійні) вещественнозначние функції п речових змінних Позначивши
,,
дану систему (2.1) можна записати одним рівнянням
(2.1а)
щодо векторної функції F векторного аргументу х. Таким чином, вихідну завдання можна розглядати як завдання про нулі нелінійного відображення. У цій постановці вона є прямим узагальненням основного завдання - побудови методів знаходження нулів одновимірних нелінійних відображень. Фактично це та ж завдання, тільки у просторах більшої розмірності. У будь-якому випадку слід подбати про правомочність тих чи інших операцій над векторними змінними і векторними функціями, а також про збіжність одержуваних таким способом ітераційних процесів. Часто теореми збіжності для цих процесів є тривіальними узагальненнями відповідних результатів, отриманих для методів вирішення скалярних рівнянь. Однак не всі результати і не всі методи можна перенести з випадку п = 1 на випадок п? 2. Наприклад, тут вже не працюватимуть методи дихотомії, оскільки безліч векторів не впорядковано. У той же час, перехід від n = 1 до n? 2 вносить до завдання знаходження нулів нелінійного відображення свою специфіку, облік якої призводить до нових методів і до різних модифікацій вже наявних. Зокрема, велика варіативність методів вирішення нелінійних систем пов'язана з різноманітністю способів, якими можна вирішувати лінійні алгебраїчні завдання, що виникають при покрокової лінеаризації даної нелінійної вектор-функції F (x). br/>
3. Метод Ньютона, його реалізації та модифікації
.1 Метод Ньютона
Нехай () - деяка послідовність невиродж...
