норм:
4.4 , Причому, лише якщо - нульова матриця,
4.4 , p> 4.4 . br/>
Введемо в розгляд три норми для А отображающего в:
,
,
,
де i - ое власне значення матриці.
Ці норми лінійного оператора А погоджені з відповідними нормами елемента (вектора) в сенсі умови.
2. Основні відомості про системи нелінійних рівнянь у
Загальна форма систем нелінійних рівнянь у має вигляд:
(2)
або F ( x ) = 0,
де - задані функції n змінних, - Невідомі. p> Функція при дійсних значеннях аргументів беруть дійсні значення, тобто є действітельнозначнимі. Обчислювати будемо тільки дійсні рішення. p> Рішенням системи нелінійних рівнянь (2) називається сукупність (група) чисел, які, будучи підставлені на місце невідомих, звертають кожне рівняння системи в тотожність.
Окремим випадком системи (2) є система лінійних рівнянь:
В
або,
де А - матриця виду (1), породжує лінійний оператор, що відображає в
В
Система лінійних рівнянь (2) поставимо у відповідність лінеаризоване рівняння (перші два члени з розкладання в ряд Тейлора (2) ) у точці виду
(2)
або,
де - квадратна матриця Якобі, складена з приватних похідних першого порядку функцій, а саме, обчислених точці.
Для подальшого нам буде потрібно ще одна форма запису системи нелінійних рівнянь в, а саме:
(3)
або,
де.
Операції, за допомогою яких здійснюється перетворення системи (2) до системи ( 3 ), можуть бути будь-якими, необхідно тільки, щоб дані рішення системи (3) задовольняло системі (2).
Функції задовольняють тим же умовам, що й функції . p> 3. Відділення рішень
Завдання відділення рішень систем нелінійних рівнянь полягає у визначенні досить малої околиці (кулі малого радіусу, центром якого є вирішення) біля якого-небудь одного рішення і у виборі в цій околиці початкового наближення до рішення. Початкове наближення має потрапити при цьому в область збіжності методу. p> Завдання відділення рішень не має досить ефективних методів загального характеру. При вирішенні рівняння передбачається знання початкових наближень до ізольованого рішенням з постановки конкретного завдання. Якщо ж таких даних немає, то можна дати лише деякі рекомендації для конкретних видів рівнянь.
Так, якщо дано скалярний рівняння, то його рішення з геометричної точки зору можна розглядати як абсциси точок перетину графіка функції з віссю абсцис. Побудувавши графік функції y = f ( x ), наближено визначаємо округа ізольованих точок перетину графіка з горизонтальною віссю. Самі точки перетину беремо за початкові наближення до точних рішенням.
Безумовно, графічні побудови мають великі похибки, і вибрані початкові наближення можуть не потрапити в область збіжності застосовуваного методу.
Тоді потрібно провести пробні рішення на ЕОМ обраним методом з дослідженням збіжності.
Якщо наближення сходяться, то початкові наближення обрані в області збіжності методу і можна отримати наближене рішення із заданою точністю.
Якщо наближення розходяться, слід провести більш точні графічні побудови і вибрати початкове наближення в області збіжності.
Аналогічно відокремлюються рішення для системи двох нелінійних рівнянь
,. br/>
У цьому випадку на площині x, y будуються лінії рівня функції двох змінних і. Координати точок перетину графіків цих функцій дають початкові наближення ізольованих рішень.
4. Методи рішення нелінійних рівнянь
4.1 Метод простої ітерації
Метод простої ітерації (Див. [1]) застосовується для розв'язання систем нелінійних рівнянь з будь-яким числом рівнянь. Його можна застосовувати як для уточнення знайденого рішення, так і для первісного знаходження рішення. В останньому випадку, однак, метод може не дати результату.
Для застосування методу простої ітерації система рівнянь (2) приводиться до виду (3).
Потім, взявши початкову наближення, яке передбачається небудь відомим, або довільним, будуємо послідовність
(4)
за такими формулами
(5)
Зауваження. Для приведення системи рівнянь ( 2) до виду (3) можна використовувати прийом:
В
де - релаксаційний параметр, визначається методом Зейделя.
4.2 Метод Зейделя
Метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що обчислення ведуться за формулами:
(6)
Інши...
