1. Дано: універсальна безліч U і X, Y, Z? U.
U={a, b, c, d} X={a, c} Y={a, b, d} Z={b, c};
Знайти: a) (X? Z)? `Y b)` X? Y c) X (`Z? Y);
Рішення:
a) `Y=U Y` Y=(abcd) (abd) `Y=c; ? Z=(ac)? (bc)=(abc);
(abc)? c=c;) `X=U X,` X=(abcd) (ac), `X=(bd);
`X? Y, (bd)? (abd)=bd;) `Z=U Z,` Z=(abcd) (bc), `Z=ad;
`Z? Y=(ad)? (abd)=(abd) (`Z? Y), (ac) (abd)=c;
Відповідь: a) c; b) bd; c) c.
2. Нехай множини A, B, C? U;
Продемонструвати діаграмами Ейлера - Венна що:
a) A? (B C)=(A? B) (C A);) A (B? C)=(A B)? (A C);
Розглянемо ліву частину рівності (а);
Знайдемо спершу різниця множин В і С;
Рис.
Тепер знайдемо об'єднане безліч А? (В C);
Рис.
Тепер розглянемо праву частину рівності (а);
Знайдемо різниця множин С і A;
Рис.
Тепер знайдемо об'єднання А і В;
Рис.
Потім знайдемо різниця множин (A? B) і (C A);
Рис.
І порівняємо отримані діаграми з лівої і правої частини:
Рис.
Ми бачимо, що ліва і права частини дійсно рівні.
Перейдемо тепер до рівності (b) і розглянемо його ліву частину;
Покажемо об'єднання множин В і С:
Рис.
І віднімемо з множини А отримане безліч (B? C):
Рис.
Перейдемо до правої частини рівності, і знайдемо різниці множин (A B) і множин (А C);
Рис.
І знайдемо перетин отриманих множин;
Рис.
А тепер порівняємо отримані діаграми з лівої і правої частин:
Рис.
І знову ми бачимо рівність лівої і правої частин.
. Довести справедливість:
`A`? `B =` A? `B;
Доказ:
Розглянемо ліву частину рівності;
`A`? `B=U A? B=U,
оскільки інші безлічі не включені в універсальне безліч U, то результатом вирахування з універсальної множини включених до нього множин А і В, об'єднаних в безліч А? В, буде само універсальне безліч U.
Тепер розглянемо праву частину рівності;
`А=U A=B;
`B=U B=A;
А? В=U,
оскільки інші безлічі не включені в універсальне безліч U і за умовою задачі безлічі Аі В не мають спільних множин, то і результатом перетину двох наявних множин буде само універсальне безліч U.
І оскільки, ліва і права частини рівності рівні U, значить вони дорівнюють один одному, ч.т.д.
4. Це завдання на перестановки з повтореннями
Значить обчислюємо за формулою:
Р (n 1! n 2! ... nk!)=n!/n 1! n 2! ... nk!
Тоді
Р=17!/5! 5! 4! 3! =24504480
Відповідь: 24504480
. Маємо букви з вибіркою по 3 з 30 букв, і цифри з вибіркою по 4 з 10.
Так як в комбінації букв цифри не входять, комбінації можна шукати окремо, але загальна кількість комбінацій має бути перемножити.
Тоді проведемо розміщення з 30 по 3 для букв, і з 10 по 4 для цифр.
А 3 30=30!/(30 - 3)! =30 * 29 * 28=24360;
А 4 10=10!/(10 - 4)! =10 * 9 * 8 * 7=5040;
І знайдемо твір:
* 5040=122774400;
Відповідь: 122774400.
. Для того, щоб число, складене з даних цифр, поділялося на 5, достатньо, щоб цифра 5 стояла на останньому місці. Решта п'ять цифр можуть стояти на залишилися місцях в будь-якому порядку. Значить, дані число шестизначних чисел, кратних п'яти, дорівнює числу перестановок з п'яти елементів, т.е.
Відповідь: 120.
...
