Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти
«Національний дослідницький Томський політехнічний Університет»
Інститут дистанційної освіти
Автоматизація технологічних процесів і виробництв (в нафтогазовій області)
Індивідуальне домашнє завдання № 1
з дисципліни:
Математичний аналіз 2
Варіант 14
Томськ? +2013
. Знайдіть приватні похідні першого порядку
. 1; 1.3. ;
. 2; 1.4. ;
Рішення
. 1;
При знаходженні приватної похідною змінну y розглядаємо як константу
.
При знаходженні приватної похідною змінну x розглядаємо як константу
.
1.2
При знаходженні приватної похідною змінну y розглядаємо як константу
.
При знаходженні приватної похідною змінну x розглядаємо як константу
.
. 3
При знаходженні приватної похідною змінну y розглядаємо як константу
.
При знаходженні приватної похідною змінну x розглядаємо як константу
.
. 4
При знаходженні приватної похідною змінну y розглядаємо як константу
.
При знаходженні приватної похідною змінну x розглядаємо як константу
.
2. Знайдіть і побудуйте область визначення функції
.
Рішення
Областю визначення функції є множина всіх точок площини, для яких визначені вираження і. Вираз виразно тоді і тільки тоді, коли подкоренное вираз неотрицательно, тобто при? 0. Те ж саме можна сказати і про висловлення, тобто ? 0.
Таким чином, область визначення даної функції задається системою нерівностей
Першому нерівності задовольняють координати всіх точок площини, розташованих вище і на прямій. Другому нерівності задовольняють координати всіх точок площини, розташованих вище і на прямій.
Область визначення функції виходить в результаті перетину зазначених множин.
Знайдемо хоча б по дві точці:
x01x01y02y21
Зазначеною сукупності задовольняє безліч точок площини, розташованих в першій і другій координатних чвертях.
3. Знайдіть похідну від функції, заданої неявно
.
Рішення
Рівність F (x, y)=0 визначає функцію однієї змінної y=y (x), задану неявно. Для знаходження похідної скористаємося формулою
, де.
Знайдемо спочатку і
;
;
Підставами і в формулу. Отримаємо
.
4. Знайдіть повний диференціал dz функції
.
Рішення
Повний диференціал функції двох змінних знаходиться за формулою
.
Знайдемо спочатку приватні похідні першого порядку і даної функції;
;
;
Тоді.
5. Доведіть, що функція задовольняє рівнянню
.
Рішення
Знайдемо спочатку приватні похідні першого порядку і даної функції;
.
.
Тепер підставимо приватні похідні. Отримуємо
.
.
.
Множимо праву і ліву част...
