ину на y і ділимо на.
Отримуємо
,
=1.
Отримали тотожність, отже, функція задовольняє рівнянню
6. Дослідіть функцію на екстремум.
Рішення
Спочатку знайдемо стаціонарні точки заданої функції
.
Для цього:
Знаходимо приватні похідні першого порядку
.
.
Прирівнюємо приватні похідні до нуля і вирішуємо систему рівнянь
?
Вирішимо систему рівнянь
? ?
? ?
Таким чином, у нас дві точки. Точка М1 (0; 0) і крапка М2 (2/3; 2/3), вони є стаціонарними для досліджуваної функції. Перевіримо достатні умови екстремуму в точці М1 (0; 0). Для цього знайдемо приватні похідні другого порядку заданої функції і обчислимо їх значення в стаціонарній точці
.
.
.
,
,
.
Складемо? =.
Так як?=0, це означає невизначеність. Для дослідження привертають вищі похідні. Ми цього робити не будемо, принаймні в цьому семестрі.
Розглянемо точно також точку М2 (2/3; 2/3),
,
,
.
Складемо?=
.
Так як? gt; 0 і lt; 0, то точка М2 (2/3; 2/3) є для досліджуваної функції точкою максимуму.
Щоб знайти значення максимуму, координати точки максимуму x=2/3, y=2/3 підставимо у функцію
Відповідь:.
7. Знайдіть найменше та найбільше значення функції
похідна функція диференціал екстремум
в замкнутій області, обмеженої лініями
.
Рішення
Спочатку знаходимо приватні похідні першого порядку заданої функції
;
.
Так як приватні похідні не рівні нулю, то функція не має стаціонарних точок.
Досліджуємо функцію на кордоні області. Рівняння
визначають на площині трикутник OAB.
На відрізку OA, де у=2, маємо,
. Завдання зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значень функції на відрізку. Так як z '= 1 gt; 0, то функція усюди зростає на відрізку. Отже, досягає своїх найбільшого і найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках А і О, відповідно. Знаходимо
z (А)=z (- 1,2)=- 8, (O)=z (2,2)=- 5.
На відрізку ОВ де х=2, маємо,,
,. Завдання зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значень функції на відрізку. Так як z '= - 2 lt; 0, то функція усюди убуває на відрізку. Отже, досягає своїх найбільшого і найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках В і О, відповідно. Знаходимо
z (В)=z (2, - 1) =, (O)=z (2,2)=- 5
На відрізку АВ де, тобто , Маємо
,,
,. Завдання зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значень функції на відрізку. Так як z '= 3 gt; 0, то функція усюди зростає на відрізку. Отже, досягає своїх найбільшого і найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках А і В, відповідно. Знаходимо
z (В)=z (2, - 1)=1 (А)=z (- 1,2)=- 8
Вибираючи з усіх отриманих значень вихідної функції найбільше і найменше значення, маємо
і.
Відповідь: і.
8. Знайдіть приватні похідні другого порядку від функцій
8.1; 8.2.
Рішення
8.1
Знайдемо спочатку приватні похідні першого порядку
=
.
.
Тоді
.
.
.
.
. 2
Знайдемо спочатку ...
