Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Факультет безперервного та дистанційного навчання
Спеціальність: штучний інтелект
Контрольна робота з вищої математики
Мінськ +2013
Завдання 1.
Дана функція. Показати що
Рішення:
Знайдемо приватні похідні і.
Отримуємо:
Завдання 2.
Дана функція і дві точки А (х0, y0) і В (х1,, y1). Потрібно:
) обчислити значення z1функціі в точці В;
) обчислити наближене значення функції в точці В виходячи із значення z0 функції в точці А, замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом;
) скласти рівняння дотичної площини до поверхні в точці
Рішення:
1)
)
Знайдемо приватні похідні і.
) рівняння дотичної площини до поверхні в точці
Рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:
Знайдемо приватні похідні, і.
Шукане рівняння дотичної площини має вигляд
Так як в умові задачі координати точки С не задані, отже рівняння дотичної площині може бути знайдено тільки в загальному вигляді.
Відповідь:
1)
)
)
Завдання 3.
Дослідити на екстремум функції двох змінних.
Рішення:
У відповідність з достатньою умовою екстремуму функції двох змінних, знайдемо точки, що задовольняють умові:
Отримали одну стаціонарну точку (0; 0)
знайдемо всі другі приватні похідні від функції і складемо дискримінант:
Так що дискримінант більше нуля і А gt; 0, то функція z має мінімум в точці (0; 0)
Відповідь: функція z має мінімум в точці (0; 0).
Завдання 4.
Дана функція, точка і вектор а. Знайти:
) grad z в точці;
) похідну в точці в напрямку вектора а.
Рішення:
1) Згідно з визначенням
Знайдемо приватні похідні функції z в точці А.
2) Похідну у напрямку вектора в точці А знаходимо за формулою
Де, - напрямні косинуси:
Отримуємо:
Приватні похідні в точці А вже знайдені. Остаточно отримуємо:
Відповідь:
1)
)
Завдання 5.
Знайти умовний екстремум функції за допомогою функції Лагранжа.
Рішення:
Складаємо функцію Лагранжа:
Маємо:
Необхідні умови дають систему
Отримуємо:
Знаходимо:
похідний функцію Лагранжа
і обчислюємо другий диференціал функції Лагранжа
в цій точці умовний мінімум,
в цій точці умовний максимум,
Відповідь:,
