Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії
Аналітична геометрія вивчає властивості геометричних об'єктів за допомогою алгебраїчних методів. В основі такого підходу лежить метод координат, вперше систематично застосований великим французьким математиком Рене Декартом (1596-1650).
Спрямований відрізок в якому вважаємо точку - початком, а точку - кінцем, називають вектором. Вектори називають колінеарними, якщо вони розташовані на паралельних прямих. Вектори називають компланарними, якщо вони розташовані на прямих, паралельних деякій одній площині. Будемо вважати, що при паралельному перенесенні вектор не змінюється.
Нехай в просторі задана прямокутна система координат, і кожній точці поставлена ??у відповідність трійка чисел - координати точки. Розглянемо дві точки простору і. Координати вектора знаходяться за формулами:
В окремому випадку, радіус-вектор починається на початку координат - точці має такі ж координати, як і точка Базисними векторами вважатимемо вектори Модуль (або довжина) вектора і визначається формулою
Ця ж формула, природно, дозволяє обчислювати довжину відрізка або відстань між точками і Зауважимо, що
Тепер визначимо операції над векторами. Додавання векторів здійснюється наступним чином.
Перенесемо вектори, так, щоб їх початку збігалися. Побудуємо паралелограм, двома сторонами якого будуть вектори. Діагональ цього паралелограма, що починається на початку кожного вектора, і буде сумою векторів .Перенесем вектори, так, щоб кінець першого вектора збігався з початком другого вектора Тоді вектор замкне трикутник і з'єднає початок першого вектора і кінець другого вектора.
Така побудова суми векторів
Називають правилом паралелограма.
Така побудова суми векторів називають правилом трикутника.
Для того щоб помножити вектор на позитивне число, треба помножити на це число його довжину і зберегти напрямок. Щоб помножити вектор на негативне число, його довжину множать на модуль числа і змінюють напрямок на протилежне. При додаванні векторів їх відповідні координати складаються; при множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число:
Кожен вектор може бути виражений через базисні вектори за допомогою цих операцій Дану формулу називають розкладанням вектора по базису.
Скалярним добутком векторів і називають число, що позначається рівне
де - кут між векторами і. Якщо вектори задані координатами то скалярний добуток виражається формулою
Використовуючи скалярний добуток, знаходимо кут між векторами:
Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток Необхідною і достатньою умовою коллінеарності векторів і є існування такого числа що Через координати векторів ця умова коллінеарності
має вигляд
вектор геометричний скалярний кут
На закінчення цієї теоретичної частини нашого уроку відзначимо, що всі перераховані формули придатні для векторів на площині Треба лише «забрати» в цих формулах третю координату.
Вирішимо разом кілька прикладів.
Приклад 1. При яких значеннях параметра, модуль вектора не перевищує модуль вектора
Рішення. Знайдемо модулі даних векторів: З умови задачі отримуємо нерівність Рішенням цієї нерівності є
Відповідь:
Приклад 2. Обчислити якщо
Рішення. Знайдемо координати вектора Отримаємо
Звідси.
Відповідь:
Приклад 3. Дано вектори і Знайти кут між векторами і
Рішення. Знайдемо координати вектора Отримаємо
Тепер можемо знайти кут між векторами:
Слідчий
Відповідь:
Приклад 4. При яких значеннях параметрів вектори будуть колінеарними.
Рішення. З умови коллінеарності слід: Тоді
Відповідь:
Приклад 5. У трикутнику з вершинами в точках знайти координати точки перетину медіан.
Рішення. Нехай відомі координати точок Координати точки ділить відрізок у відомому відношенні визначається формулою
Скориставшись цією формулою спочатку знайдемо середину боку Координати цієї точки, який ділив відрізок відносно рівні Медіана ділиться шуканої точкою відносно рахуючи від точки Таким чином,
Відповідь:
Приклад 6. Дано три вершини паралелограма. Знайти координати вершини протилежній вершині
Рішення. Позначимо через - координати точки Вектори і рівні, і, отже, мають однакові координати. Звідси: Отже,
Відповідь:
