Зміст
Постановка завдання управління
Лінійна задача швидкодії
Лінійні диференціальні рівняння з керуванням
Постановка завдання управління
Для завдання управління характерна наявність деякого динамічного об'єкта, т. е. об'єкта, мінливого в часі.
Нехай положення об'єкта в кожен момент часу повністю характеризується набором параметрів, ..., Це координати об'єкта в деякій системі координат.
Вектор
називається фазовим вектором .
Припустимо, що рухом об'єкта можна управляти, т. е. об'єкт забезпечений деякими рулями, від положення яких залежить його поведінку. Нехай положення рулів характеризується в кожен момент часу набором параметрів
Вектор
називається керуючим параметром (функцією) або управлінням . Стан об'єкта в даний момент часу залежить від значень управління до моменту і не залежить від майбутньої поведінки управління.
В залежності від того, як висловлюється залежність вектора фазового стану від управління розглядають різні динамічні об'єкти. Наприклад,
(1)
або якщо значення управління відомо для кожного, то можна визначити траєкторію об'єкта як рішення диференціального рівняння
Управління в конкретних фізичних об'єктах не може бути довільним. На нього накладено обмеження, що випливають з фізичного змісту управління, т. Е. Якщо -тяга двигуна, то
Зазвичай припускають, що
, (2)
де - деякий заданий безліч (зазвичай замкнутий) .При цьому -називається допустимим керуванням. Сам вид функції визначається з фізичного змісту. Функції можуть бути гладкі, безперервні, кусочно безперервні. Будемо вважати, що клас допустимих управлінь заданий.
Припустимо, що заданий початковий момент часу і безліч допустимих початкових станів об'єкта. Ми хочемо управляти об'єктом так, щоб в якійсь кінцевий момент часу об'єкт перейшов у деякий безліч допустимих кінцевих станів. Будемо вважати, що допустиме управління переводить об'єкт з безлічі початкових станів на безліч кінцевих станів на відрізку часу [, якщо відповідне цьому стан об'єкта задовольняє умовам
(3).
Причому, кінцевий момент часу може бути не фіксованим і визначається з умови потрапляння вектора на кінцеве безліч .Отже, припустимо, що і задані.
Об'єкт з в можна перевести багатьма способами. Бажано серед них вибрати найкращий в якомусь сенсі.
Припустимо, що кожному допустимому управлінню, заданому на [і відповідної траєкторії зіставлене число, що оцінює якість пари т. е. заданий функціонал , або критерій якості . Наприклад,
Завдання оптимального управління полягає в знаходженні такої додаткової пари, що функціонал якості приймає мінімальне значення, т. е.
.
Тут мінімум береться по всіх додаткових управлінням та відповідним траєкторіях, що переводять об'єкт з безлічі в.
Приклад 1. Космічний корабель.
Завдання управління тут полягає у виборі додаткового управління і відповідної траєкторії так, щоб перехід космічного корабля з одного кругової орбіти на іншу здійснюється з мінімальною витратою палива.
Приклад 2. Фізичний маятник.
Він знаходиться в положенні рівноваги.-відхилення маятника від положення рівноваги.
Управління маятника у разі коливань з малою амплітудою має вигляд
Припустимо, що до маятника можна докладати зовнішню силу і, обмежену за величиною, наприклад .Тогда рівняння маятника має вигляд
(5)
Покладемо тоді
Ми привели до виду (1),: -відхилення маятника, -швидкість відхилення.
При і -становище рівноваги. Нехай при впливі зовнішньої сили маятник відкидається в положення. Треба якомога ...
