швидше перевести маятник в положення рівноваги, вибираючи для цього зовнішню силу.
При цьому з фізичних міркувань повинна бути кусково безперервною.
Таким чином, завдання оптимального управління полягає в тому, щоб підібрати таку кусково безперервну функцію, що задовольняє умові, щоб відповідна траєкторія маятника перейшла з початкового стану в положення рівноваги за найменший час.
Лінійна задача швидкодії
Динаміка об'єкта в лінійній задачі описується системою диференціальних рівнянь
=, (1)
де - -мірний вектор фазового стану, - -мірний вектор управління з обмеженнями,, - постійна матриця розмірності. Знаючи допустиму функцію управління і початковий стан об'єкта, можна отримати єдину функцію фазового стану, як рішення диференціального рівняння (1).
Початкове і кінцеве стану об'єкта будемо вибирати, як елементи деяких не пустих компактних підмножин. Критерієм якості буде служити час переходу з в, т. е.
.
Такий критерій якості виходить з критерію
прі.
Таким чином, лінійна задача швидкодії полягає в знаходженні допустимого управління і відповідного йому рішення рівняння (1), переводящего об'єкт з безлічі початкових станів на безліч кінцевих станів за мінімальний час.
Визначення. Функція називається допустимим управлінням на відрізку часу [, якщо вона вимірна і при всіх задовольняє включенню
Для будь-якого допустимого управління і будь-якого початкового стану існує єдине рішення диференціального рівняння
= (2)
Це рішення описує зміну фазового стану динамічного об'єкта при впливі на нього допустимим керуванням.
Нехай раніше. Допустиме управління, задане на, здійснює перехід з на, якщо відповідне рішення задовольняє граничним умовам.
Будемо припускати, що початковий момент часу -фіксірован, а кінцевий -визначається з умови потрапляння рішення на. Завдання швидкодії полягає в знаходженні допустимого управління, що здійснює перехід з на за найменший час.
Для цього завдання розглядається: керованість, існування оптимального управління, необхідні умови оптимальності та єдиність оптимального управління.
Експоненціал матриці.
Цей ряд абсолютно сходиться.
Властивості експоненціала матриці:
1.
2.
3.
4.
5. .
Приклад 1. Нехай n=2. Знайдемо, якщо A =,,, ...
Приклад 2. Нехай n=2. Знайти експоненціал матриці A =. Експоненціалом матриці А є лінійно-незалежні рішення диференціального рівняння, записані в стовпці.
, .
Отже,
Загальне рішення цієї системи виражається формулою
В якості початкових умов вибираються базисні вектори
,. Отримуємо два рішення
.
Отже,
.
Будемо вважати, що функція -безупинно на відрізку.
Тоді для будь-якого початкового умови рішення (2) існує і єдино і виражається формулою
причому інтеграл розуміється в (3) Ріманом, а саме рішення є безперервно диференціюється функцією.
Для кусково неперервної функції формула (3) діє на кожному відрізку безперервності функції .При цьому отримуємо кусочно гладке рішення т. е. сама функція неперервна, а її похідна -кусочно безперервна.
Лінійні диференціальні рівняння з керуванням
Будь допустиме управління є функцією вимірної і задовольняє оцінці
.
Тим самим відповідно до властивості 2 інтеграла Лебега, функції інтегровними по Лебегу.
Функцію назвемо абсолютно неперервної на відрізку часу, якщо її похідна існує для майже всіх, інтегрована по Лебегу і для всіх виконується умова
...
