1. Метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло)
Метод статистичного моделювання, відомий у літературі також під назвою методу Монте-Карло, дає можливість конструювати для ряду важливих завдань алгоритми, добре пристосовані до реалізації на комп'ютерах. Виникнення методу Монте-Карло пов'язують зазвичай з іменами Дж.Нейман, С.Улама, Н.Метрополіса, а також м.Канів і Е. Фермі; всі вони в 40-х роках працювали в Лос-Аламосі (США) над створенням першої атомної бомби. Назва Монте-Карло походить від міста Монте-Карло (князівство Монако), відомого своїми казино, бо однією з найпростіших приладів для генерування випадкових чисел служить рулетка.
Хоча загальноприйнятого визначення методів Монте-Карло не існує, проте під цією назвою розуміють чисельні методи рішення математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин і процесів. Основна ідея методу? зв'язок між імовірнісними характеристиками різних випадкових процесів (ймовірностями випадкових подій або математичними очікуваннями випадкових величин) і величинами, які є рішеннями задач математичного аналізу (значеннями інтегралів, рішеннями диференціальних рівнянь і т.п.). Виявляється, що замість обчислення ряду складних аналітичних виразів можна експериментально визначити значення відповідних ймовірностей і математичних очікувань. Цей метод отримав широкий розвиток у зв'язку з новими можливостями, які дають швидкодіючі електронні обчислювальні машини.
Продемонструємо суть методу на найпростішої задачі. Нехай потрібно наближено визначити математичне очікування MX с.в. X . Нехай x1 , x2 , ..., xn ? значення величини X , отримані при n незалежних випробуваннях (вимірах) с.в. X . Тоді величина
(1)
де Xk , k=1, ..., n ? незалежні с.в. із загальним розподілом, cсовпадающім з розподілом с.в. X , відповідно до центральною граничною теоремою розподілена за законом, близькому до гауссовий з параметрами:
M, D
Тому має місце оцінка (з надійністю 0,997)
(2)
Таким чином, в цьому випадку час пов'язано зворотною залежністю з досягається точністю ?
=(3)
Необхідно відзначити одну особливість методу Монте-Карло, що складається в тому, що оцінка похибки обчислень має імовірнісний характер. При цьому методі не можна стверджувати, що помилка не перевищить якого-небудь значення. Можна тільки вказати межі, за які помилка вийде з імовірністю, близькою до одиниці. Зокрема, в оцінці (2) ця ймовірність дорівнювала 0,997. Відповідно з основною ідеєю методу Монте-Карло для наближеного обчислення величини a необхідно придумати таку с.в. X , щоб MX=a . При цьому сама величина X може бути функцією якийсь скалярною або векторної випадкової величини, або навіть функціоналом від випадкового процесу. Тому першочерговим завданням при використанні методу Монте-Карло є завдання моделювання випадкових величин або випадкових процесів.
Завдання 2
моделювання алгоритм лінійний програмування
Вирішіть графічним методом типову задачу оптимізації. Здійсніть перевірку правильності рішення за допомогою засобів MS Excel (надбудова Пошук рішення).
При виробництві двох видів продукції використовується чотири типи ресурсів. Дані про нормі витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції і загальному обсязі кожного ресурсу представлені в таблиці.
РесурсНорма витрат ресурсів на виробництво одиниці продукцііОбщее кількість ресурса1-го віда2-го віда1221221283401640412
Прибуток від реалізації продукції першого виду становить 2 ден. од./од., другого виду - 3 ден. од./од. [?] Сформуйте виробничу програму випуску продукції, що забезпечує максимальний прибуток від її реалізації. Побудуйте економіко-математичну модель задачі, дайте необхідні коментарі до її елементів і отримаєте рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на мінімум, і чому?
Рішення:
. Побудуємо економіко-математичну модель задачі:
Змінні: x 1 - кількість продукції 1-го виду і х 2 - кількість продукції 2-го виду.
Цільова функція: це прибуток ві...
