д реалізації обох видів продукції, яку необхідно максимізувати
f ()=2х 1 + 3х 2? max.
Обмеження по ресурсах:
Обмеження за кількістю продукції:
х 1? 0, х 2? 0.
. Вирішимо отриману задачу лінійного програмування графічним методом.
Побудуємо ОДР завдання. Лінійна нерівність описує деяку область на площині. Визначимо, які півплощині описують нерівності, задані в системі нерівностей обмежень по ресурсах.
Для цього будуємо прямі:
x 1 + 2x 2=12; х 1 + 2х 2=8; 4х 1=16; 4х 2=12
Виберемо точку початку координат (0; 0), підставимо в першу нерівність і отримаємо 0? 12. Дане твердження є вірним, отже, нерівності відповідає напівплощина, що містить початок координат. Аналогічно визначаємо півплощині по іншимобмеженням.
Умова невід'ємності кількості продукції визначають півплощини з граничними прямими х 1=0 і х 2=0 відповідно.
У результаті перетину побудованих чотирьох напівплощин отримуємо багатокутник, який і є областю допустимих рішень нашого завдання.
Для знаходження максимального значення цільової функції при графічному вирішенні задачі лінійного програмування використовують вектор-градієнт, координати якого є приватними похідними цільової функції.
Цей вектор показує напрямок найшвидшого зміни цільової функції. Лінія 2х1 + 3х2=а (а - постійна величина) перпендикулярна вектору-градієнту. Вона називається лінією рівня. Для максимізації цільової функції переміщаємо лінію рівня в напрямку вектора-градієнта до тих пір, поки вона не покине меж ОДР. Гранична точка області при цьому русі і є точкою максимуму цільової функції, в нашій задачі це точка А (Рис 1). Для знаходження координат цієї точки досить вирішити систему з двох рівнянь прямих, одержувану з відповідних обмежень і дають в перетині точку максимуму.
; ;
Значення цільової функції в цій точці дорівнює:
f ()=2 * 4 + 3 * 2=14
3. Відповідь: Для отримання максимального прибутку (14 ден. Од.) Від реалізації двох видів продукції необхідно провести 4 од. продукції 1-го виду та 2 од. продукції 2-го виду.
Якщо вирішувати задачу на мінімум, то необхідно знайти таке рішення, при якому підприємство отримає найменший прибуток, тобто цільова функція набуде мінімальне значення. Для цього лінію рівня слід рухати в напрямку, зворотному вектору-градієнту. Очевидно, що мінімум цільової функції досягається в точці (0; 0). Тоді отриманий прибуток буде дорівнює 0.
min f ()=2 * 0 + 3 * 0=0
Значить, для того, щоб отримати мінімально можливий прибуток (в даному випадку мінімальна прибуток буде дорівнює нулю) необхідно не виробляти продукцію.
Рис 1. Графічне рішення ЗЛП.
4. Перевірка правильності рішення за допомогою засобів MS Excel (надбудова Пошук рішення).
На робочому аркуші MS Excel виконуємо наступні дії:
) Вказуємо адреси комірок, в які будуть поміщені результати вирішення: В3-С3.
) Вводимо вихідні дані - коефіцієнти для цільової функції В4-С4, норми витрат ресурсів на виробництво обох видів продукції A8- C11, обмеження по ресурсах: F8- F11.
) Вводимо залежність для цільової функції: D4.
) Вводимо залежності для обмежень по ресурсах: D8 - D11. Рис. 2
Рис. 2. Вводиться функція для обчислення цільової функції.
) Запускаємо надбудову Пошук рішення.
) Призначаємо цільову комірку: D4, вводимо осередку змінних В3-С3; вводимо умови обмежень по ресурсах. Рис. 3
Рис. 3 Введено умови задачі
) Натиснувши кнопку Знайти рішення , отримуємо Результати пошуку рішення. Рис.4
Рис. 4 Рішення знайдено
) У результаті рішення задачі отримали відповідь: Цільова функція, що визначає максимальний прибуток, дорівнює 14 ден.ед .; кількість продукції 1-го виду одно 4 од., кількість продукції 2-го виду одно 2 од.
Завдання 3
Розрахуйте параметри моделей економічно вигідних розмірів партій, що замовляються.
Річна потреба машинобудівного заводу в шинах марки Bridgestone В250 (175/70 R13 82H) становить 70000 шт., витрати на одне замовлення - 600 руб.,...
