Умова
Задана динаміка курсу валюти за 7 місяців. Потрібно побудувати лінійну регресійну модель зміни курсу валюти в залежності від часу і дати інтерпретацію отриманого результату.
Перевірити значимість параметрів рівняння регресії і адекватність моделі при 95% рівні довіри.
Побудувати точковий прогноз курсу валют на восьмий місяць.
Вихідні дані
Месяц1234567Курс3,123,323,423,623,823,924,02
Діаграма розсіювання для вихідних даних
1. Пряма регресії. Стандартна помилка оцінки
Лінійна регресія є лінійну функцію між умовним математичним очікуванням М (Y | X=xi) залежною змінною Y і однією пояснюватиме змінної Х.
М (Y | X=xi)=b 1 + b 2 х і.
Принциповою в даному випадку є лінійність за параметрами b 1 і b 2 рівняння.
За вибіркою обмеженого обсягу можна побудувати емпіричне рівняння регресії
? i=b 1 + b 2 х і + e і.,
де e і - оцінка теоретичного випадкового відхилення.
Для визначення емпіричних коефіцієнтів регресії помилки оцінки скористаємося методом найменших модулів.
Отримані дані занесемо в таблицю
іхуx 2 xyy 2 113,1213,129,7344223,3246,6411,022333,42910,2611,696443,621614,4813,104553,822519,114,592663,923623,5215,366774,024928,1416,16Среднее43,60572015,03713,097
b 1=(15,037 - 4 * 3,6057)/(20 - 16)=0,15355
b 2=3,6057 - 0,15355 * 4=2,9915
Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд
?=0,15355 х i + 2,9915
Для перевірки правильності скористаємося функцією «Лінійна лінія тренду» електронних таблиць Microsoft Excell з виведенням на графік рівняння регресії:
Пряма, виділена чорним кольором, є прямою регресії.
Визначимо оцінки теоретичного випадкового відхилення:
іхуy i ee 2 113,123,1451-0,0250,0006223,323,29860,02140,0005333,423,4522-0,0320,001443,623,60570,01430,0002553,823,75930,06070,0037663,923,91280,00725E- 05774,024,0664-0,0460,0021Среднее43,60573,6057 0,0012Сумма0,0082
Розкладання дисперсії.
Невідома дисперсія
у2=0,0082/5=0,00164
Дисперсії оцінок b1 і b2 мають вигляд
D (b1)=0,001171429
D (b2)=5,85714E - 05
2. Коефіцієнт детермінації
Сумарною мірою загального якості рівняння регресії (відповідності рівняння регресії статистичними даними) є коефіцієнт детермінації R 22=0,9877
Перевірка гіпотез
Відповідно із загальною схемою перевірка гіпотез здійснюється по послідовних кроках:
Крок 1. Формулювання нульовий та альтернативної гіпотез.
Крок 2. Вибір статистики, за значеннями якою судять про справедливість гіпотези. Під статистикою розуміється деяка функція від випадкових величин з відомим законом розподілу.
Крок 3. Формулювання правила перевірки гіпотез і визначення необхідного обсягу вибірки. При цьому повинні бути задані рівень довіри і величина, пов'язана з потужністю критерію. Можна чинити інакше, задавши рівень довіри та обсяг вибірки і мінімізувати потужність критерію.
Крок 4. Залежно від перевіряється гіпотези і її альтернатив вибираємо одно- або двосторонню перевірку. Знаходимо область прийняття нульової гіпотези.
Крок 5. Порівнюємо розраховану величину статистики з її теоретичним значенням і приймаємо рішення про прийняття або відхилення гіпотези.
Крок 6. Інтерпретуємо результати перевірки гіпотез
Досліджуємо значимість параметра b 2 .
Крок 1. Нульову та альтернативну гіпотези приймемо у вигляді
Н 0: b 2=0;
Н 1: b 2? 0.
Сенс гіпотез полягає в тому, що фактично пропонується перевірити, чи істотно вплив рівня х на у.
Крок 2. В якості статистики можна взяти функцію виду, яка має t-розподіл з (n - 2) ступенями свободи.
Крок 3. Правило перевірки нульової гіпотези полягає в зіставленні емпіричного значення t-критерію з теоретичним. Обсяг вибірки дорівнює 15. Рівень довіри припускаємо рівним 95%.
t 0,025; 7=2,8...
