1. Спіраль Архімеда
.1 Історичні відомості
Архімед (287 р. до н.е.. - 212г. до н. е.) - давньогрецький математик, фізик та інженер з Сіракуз (острів Сицилія). Він зробив безліч відкриттів в геометрії. Заклав основи механіки, гідростатики, автор ряду важливих винаходів.
Архимедова спіраль була відкрита Архімедом. Це сталося в III столітті до н.е., коли він експериментував з компасом. Він тягнув стрілку компаса з постійною швидкістю, обертаючи сам компас за годинниковою стрілкою. Отримана крива була спіраллю, яка зсувалися на ту ж величину, на яку повертався компас, і між витками спіралі зберігалося одне і те ж відстань.
Спіраль Архімеда використовували в давнину, як найкращий спосіб визначення площі кола. З її допомогою був поліпшений стародавній грецький метод знаходження площі круга через вимір довжини кола. Спіраль дала можливість більш точного вимірювання довжини кола, а отже, і площі круга.
У III столітті да нашої ери Архімед на основі своєї спіралі винайшов гвинт, який успішно застосовували для передачі води в зрошувальні канали з водоймищ, розташованих нижче. Пізніше на основі гвинта Архімеда створили шнек («равлика»). Його дуже відома різновид - гвинтовий ротор в м'ясорубці. Шнек використовують у механізмах для перемішування матеріалів різної консистенції.
1.2 Визначення спіралі Архімеда
Криву можна розглядати як траєкторію точки, рівномірно рухається по променю, що виходить з полюса, в той час як цей промінь рівномірно обертається навколо полюса.
Уявімо собі циферблат годинника з довгою стрілкою. Стрілка рухається по колу циферблата. А по стрілці в цей час переміщається з постійною швидкістю маленький жучок. Траєкторія руху жучка являє собою спіраль Архімеда.
1.3 Побудова спіралі Архімеда
Щоб зрозуміти, як виходить спіраль Архімеда, відзначимо на кресленні точку, яка є центром спіралі Архімеда.
Побудуємо з центру спіралі коло, радіус якої дорівнює кроку спіралі. Крок спіралі Архімеда дорівнює відстані, яке проходить точка по поверхні кола за один його повний оборот.
Розділимо окружність на декілька рівних частин за допомогою прямих ліній. На першій лінії відкладаємо одну поділку, на другий-два ділення, на третій-три ділення і т. Д. Потім креслимо відповідне число дуг з центру кола, що проходять через перший розподіл, другий і т. Д.
Відстані витків правої спіралі, вважаючи за променем, дорівнюють, а відстані сусідніх витків, рівні.
Рівняння Архимедовой спіралі має вигляд:
,
де - радіус-вектор, - кут обертання, - крок спіралі.
Полярний кут ми відраховуємо від полярної осі, вважаючи його позитивним проти годинникової стрілки.
При обертанні променя проти годинникової стрілки виходить правая спіраль (синя лінія) при обертанні - за годинниковою стрілкою - ліва спіраль (червона лінія).
Полярний радіус-вектор ми будемо брати як позитивним, так і негативним; в першому випадку його відкладають в напрямку, обумовленому кутом, а в другому в протилежному напрямку.
I.Вичіслім площа, описувану полярним радіусом спіралі при одному його обороті, якщо початку руху відповідає,
.
Отже,
Якщо ми знайдемо площу круга радіуса, то отримаємо
.
Тобто, ми отримали, що площа фігури, обмеженої полярною віссю і першим витком спіралі, дорівнює площі кола з радіусом, рівним найбільшому з полярних радіусів витка.
II.Найдем довжину першого витка спіралі Архімеда.
2. Логарифмічна спіраль
.1 Історичні відомості
Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом (1638, опубліковано в 1657 г). Декарт шукав криву, що володіє властивістю, подібним властивості окружності, так щоб дотична в кожній точці утворювала з радіус-вектором в кожній точці один і той же кут. Звідси і назва равноугольная. Він показав, що ця умова рівнозначно тому, що полярні кути для точок кривої пропорційні логарифмам радіус-векторів. Звідси і друга назва: логарифмічна спіраль. Незалежно від Декарта вона була відкрита Е. Торрічеллі в 1644 р Властивості логарифмічної спіралі досл...
