алізованих перестановках, називаються відповідними і пишуться одне за іншим. Наприклад, символ позначає підстановку, у якій 3 перетворюється в 4, 1? 2, 2? 1, 4? 3. Підстановка називається четной (чи нечетной), тоді загальне число інверсій на обох рядках підстановки четно (непарній). Яка підстановка n-го ступеня може бути записана у вигляді, т.е. з натуральним розташуванням чисел у верхньому рядку.
Нехай нам дана квадратна матриця порядку n
. (4.3)
Розглянемо всі можливі твори по n елементів цієї матриці, узятих за одним і тільки по одному з кожного рядка і кожного шпальти, тобто творів виду:
, (4.4)
де індекси q1, q2, ..., qn становлять деяку перестановку з чисел
, 2, ..., n. Число таких творів одно числу різних перестановок з n символів, тобто одно n !. Знак твори (4.4) дорівнює (- 1) q, де q - число інверсій в перестановці других індексів елементів.
Определителем n -го порядку, відповідним матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для запису визначника вживається символ A=чи det A=(детермінант, або визначник, матриці А).
Властивості визначників
1. Визначник не змінюється при транспонировании.
. Якщо один з рядків означника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
. Якщо у визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.
. Визначник, у якому дві однакові рядки, нульовий.
. Якщо всі елементи деякою рядки означника помножити на деяке число k, то сам визначник множиться k.
. Визначник, якому дві пропорційні рядки, нульовий.
. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків aij=bj + cj (j =), то визначник дорівнює сумі визначників, у яких всі рядки, крім i-ой, - такі ж, як в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj, в іншому - з елементів cj.
. Визначник не змінюється, якщо елементам одній з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.
Зауваження. Всі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.
Мінором Mij елемента aij визначника d n-го порядку називається визначник порядку n - 1, який виходить з d викреслюванням рядка і шпальти, містять даний елемент.
Алгебраїчним доповненням елемента aij визначника d називається його мінор Mij, взятий зі знаком (- 1) i + j. Алгебраїчне доповнення елемента aij будемо позначати Aij. Таким чином, Aij=(- 1) i + j + Mij.
Способи практичного обчислення визначників, засновані на тому, що визначник порядку n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.
Теорема (розкладання визначника по рядку або стовпцю).
Визначник дорівнює сумі добутків всіх елементів довільної його рядки (чи шпальти) на їх алгебраїчні доповнення.
Зокрема, коли всі елементи рядки (чи шпальти), крім однієї, рівні нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому з його алгебраїчне доповнення.
Ранг матриці
Розглянемо прямокутну матрицю (4.1). Якщо в цій матриці виділити довільно k рядків і k стовпців, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А. Очевидно, що матриця А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого із чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться принаймні один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних нуля, називається рангом матриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, дорівнює нулю. Ранг матриці А позначається через r (A). Очевидно, що виконується співвідношення
? r (A)? min (m, n).
Ранг матриці перебуває або методом облямівки миноров, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до минорам високого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k + 1) -го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k.
Елементарними називаються такі перетворення...
