Матриці
Основні питання лекції: загальні визначення, пов'язані з поняттям матриці; дії над матрицями; визначники 2-го і 3-го порядків; визначники порядку n, їх обчислення; властивості визначників; зворотна матриці; ранг матриці.
Матрицею розміру mхn називається прямокутна таблиця чисел, яка містить m рядків і n стовпців. Числа, складові матрицю, називаються елементами матриці.
Матриці позначаються прописними (заголовними) літерами латинського алфавіту, наприклад, A, B, C, ..., а для позначення елементів матриці використовуються малі букви з двойнойіндексаціей: a ij , де i - номер рядка, j - номер стовпця:
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n
Матриця називається квадратною n - го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.
Елементи матриці a ij , у яких номер стовпчика дорівнює номеру рядка (i = j), називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Для квадратної матриці головну діагональ утворюють елементи a 11 , a 22 , ..., a nn , а a 1n , a 2n- 1 , ..., A n1 - елементи додаткової діагоналі. p> Види матриць: матриця (вектор) - рядок, матриця (Вектор) - Стовпці, діагональна, одинична матриця. p> Над матрицями, як і над числами, можна виробляти ряд операцій.
а) Множення матриці на число. Твором матриці А на число О» називається матриця В = О»А, елементи якої b ij = О»a ij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Зокрема, твір матриці А на число 0 є нульова матриця, тобто 0 • А = О.
б) Складання матриць. Сумою двох матриць А і В однакового розміру mхn називається матриця С = А + В, елементи якої
С = A В± B = (aij) В± (bij) = (aij В± bij) = (cij), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
(тобто матриці складаються поелементно).
В окремому випадку А +0 = А.
в) Множення матриць. Множення матриці А на матрицю У визначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другий. Тоді твором матриць називається така матриця, кожен елемент якої з ij дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j - го стовпця матриці В:
В
Примітка. A * B в‰ B * A.
Транспонування матриці - перехід від матриці А до матриці А ', в якій рядки і стовпці помінялися місцями з збереженням порядку. Матриця А 'називається транспонованою щодо матриці А:
,
У літературі зустрічаються й інші позначення транспонованою матриці, наприклад, А т .
Піднесення до степеня. Цілою позитивної ступенем А m (m> 1) квадратної матриці А називається твір m матриць, рівних А, тобто
А m = A * A * ... * A (m> 1)
m раз
Зауважимо, що операція зведення в ступінь визначається тільки для квадратних матриць.
За визначенням вважають А 0 = Е, А 1 = А.
Слідом trА квадратної матриці А називається сума її діагональних елементів:
В
Матриця А -1 , зворотна до квадратної матриці А, - така матриця, що
А -1 * А = А * А -1 = Е (Е - одинична матриця).
В
Визначники
Необхідність введення визначника - числа, характеризує квадратну матрицю А, - тісно пов'язане з вирішенням систем лінійних рівнянь. Визначник матриці А позначається det (A) або О”. p> Определителем матриці першого порядку А = (а 11 ), або визначником першого порядку, називається елемент а 11 : О” = | А | = а 11 . Наприклад, нехай А = (3), тоді О” 1 = | А | = 3. p> Визначник матриці другого порядку обчислюється за формулою:
В
Визначник матриці третього порядку обчислюється по правилом трикутника або правилом Сарруса:
В
Мінором M ij елемента a ij матриці n - го порядку називається визначник матриці (n-1) - го порядку, отриманої з матриці А викреслюванням i - го рядка і j - го стовпця.
Алгебраїчним доповненням Aij елемента a ij матриці n - го порядку називається його мінор, узятий зі знаком (-1) i + j :
A ij = (-1) i + j M ij , i, j = 1, 2, 3
тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка та стовпця (i + j) - парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли (i + j) - непарне число.
Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
В
Примітка. Визначник трикутної (і діагональної) матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
Властивості визн...
