ачників
1. Якщо будь-який рядок (стовпець) матриці складається з одних нулів, то її визначник дорівнює 0.
2. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (Шпальти) матриці помножити на число О», то її визначник множиться це число О».
3. При транспонировании матриці її визначник не змінюється: | А '| = | А |.
4. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак на протилежний.
5. Якщо квадратна матриця містить дві однакові рядки (шпальти), то її визначник дорівнює 0.
6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює 0.
7. Сума добутків елементів будь-якої рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (Шпальти) цієї матриці дорівнює 0, тобто
, при i В№ j
8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементам небудь рядка (стовпця) матриці додати елементи іншого рядка (Шпальти), попередньо помножені на одне і те ж число. p> 9. Сума добутків довільних чисел b 1 , b 2 , ..., bn на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (Шпальти) дорівнює визначнику матриці, отриманої з цієї заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа b 1 , b 2 , ..., bn.
10. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:
| З | = | А | * | В |, де C = А * В; А і В-матриці n - го порядку.
Ранг матриці
Для вирішення і дослідження ряду математичних і прикладних завдань важливе значення має поняття рангу матриці.
Визначення. РангомматріциА називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці .
Ранг матриці Аобозначается rang Аіліr (А) .
Властивості рангу матриці:
1 0 . Ранг матриці А mxn НЕ перевершує меншого з її розмірів, тобто rang A ≤ min (m; n);
2 0 . г (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто А = 0;
3 0 . Для квадратної матриці n-го порядку r (A) = n тоді і тільки тоді, коли матриця А - невироджена.
Назвемо елементарними перетвореннями матриці наступні:
1) Відкидання нульовий рядок (стовпчик).
2) Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю.
3) Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.
4) Додаток до кожного елементу одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.
5) Транспонування матриці.
Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.
