План
Введення
Глава 1. Визначення центру мас
. Фізичне визначення центру мас
. Математичне визначення центру мас
. Властивості центру мас
Глава 2. Рішення геометричних задач барицентрична методом
. Позитивні маси
. Негативні маси
. Комплексні маси
Висновок
Література
Введення
барицентрична координати введені Августином Фердинандом Мебіусом (1790-1868) в 1828 р Приставка бари означає важкий (від грец. bario); тому «баріцентр» означає центр ваги (центр мас).
Родоначальником методу барицентричних координат був великий давньогрецький мислитель Архімед. Ще в ІІІ ст. до н.е. він виявив можливість доводити нові математичні факти за допомогою властивостей центру мас.
У першому і другому розділах розкривається ідея барицентрична підходу. Сутність його полягає в тому, що наша увага концентрується на певних точках-центрах мас якихось систем матеріальних точок, пов'язаних з розглянутою геометричною задачею. З механічних міркувань ці крапки з'являються абсолютно природно. Геометрично ж доцільність розгляду саме цих точок заздалегідь незрозуміла; і раптом чудесним чином виявляється, що їх використання дозволяє швидко знайти (і строго обгрунтувати) вирішення важкого геометричної задачі. Для вирішення геометричних задач доцільно поширити поняття центру мас на випадок матеріальних точок і з негативними масами про це йдеться у другому розділі, застосуванні викладених ідей до завдань популяційної генетики. І розглядається закон Харді-Вайнберга.
Глава 1. Визначення центру мас
. Фізичне визначення центру мас
У фізиці під матеріальною точкою розуміють тіло, розмірами якого можна знехтувати при порівнянні їх з відстанями до інших тіл, що розглядаються в задачі. Для спрощення міркувань таке «мале» тіло розглядають як геометричну точку (т. Е. Вважають, що вся маса тіла зосереджена в одній точці). Якщо в точці А зосереджена маса m, то будемо цю матеріальну точку позначати через mА, т. Е. Будемо записувати матеріальну точку у вигляді «твори».
Розглянемо два невеликих кульки, які мають маси m 1 і m 2, з'єднаних жорстким «невагомим» стержнем. На цьому стрижні є така чудова точка Z, що якщо підвісити всю систему в цій точці, то вона буде в рівновазі - жоден з кульок не" перетягне». Ця точка Z і є центр мас двох розглянутих матеріальних точок з масами m 1 і m 2.
Рис. 1
Така ж картина спостерігається і для більшого числа матеріальних точок. Уявімо собі, що в деякій області простору (наприклад, усередині деякого куба) знаходяться п масивних кульок з масами т 1, т 2, ..., т n. Розміри кульок припускаємо малими (порівняно з найменшим з відстаней між ними). Інакше кажучи, йдеться про n матеріальних точках m 1 А 1, m 2 А 2, ..., mn A n. Будемо вважати, що вся розглянута область заповнена речовиною пренебрежимо малої маси в порівнянні з масою кожної кульки (пінопласт); ми вважаємо, що цей пінопласт не гнеться, не стискується, не розтягується. Матеріальні точки «сидять» в ньому нерухомо. Можна уявляти собі картину й інакше: що розглядаються кульки з'єднані «невагомими» стрижнями в одну жорстку систему. Якщо вибрати довільну точку одного з з'єднують стрижнів і підвісити всю систему на ниточці, закріпленої в цій точці, то розглянута система, взагалі кажучи, не опиниться в стані рівноваги, одна частина «перетягне».
Але є така чудова точка Z, що якщо ми підвісимо всю систему на вертикальній ниточці, прикріпленій в точці Z (вважаючи, що один зі стрижнів проходить через цю точку, рис. 1), а потім як завгодно повернемо систему навколо точки Z, заспокоїмо і відпустимо, то вона залишиться в рівновазі. Таку точку Z називають центром мас, або барицентра системи матеріальних точок (8).
. Математичне визначення центру мас
Для того щоб за допомогою поняття центру мас отримувати математично коректні рішення геометричних задач, непридатне визначення центру мас з допомогою «підвішування на ниточці». Слід роз'яснити точний математичний сенс поняття центру мас за допомогою геометричних термінів.
Вираз «матеріальна точка mА» означатиме: «Точка А разом з числом m, яке їй зіставлять». Число m називатимемо масою матеріальної точки mА; завжди передбачатиметься, що m gt; 0.
Проведемо тепер попереднє евристичне розгляд для того щоб на основі властивостей з'...
