ясувати, як може виглядати математичне визначення центру мас. Розглянемо спочатку два матеріальні точки m 1 A 1 і m 2 А 2, і нехай Z - їх центр мас (властивість 1). Рівність m 1 d 1=m 2 d 2 (властивість 2) можна записати у вигляді
m 1 | |=m 2 | | (рис. 2), т. е. | m 1 |=| m 2 |. Враховуючи, що вектори і мають протилежні напрямки, отримуємо звідси m 1=- m 2, тобто
m 1 + m 2 =. (1)
Отже, якщо ми хочемо, щоб виконувалися властивості 1 і 2, то центром мас двох матеріальних точок m 1 A 1 і m 2 А 2 повинна бути така точка Z, для якої справедливо рівність (1).
Нехай тепер дано три матеріальні точки m 1 A 1, m 2 А 2, m 3 A 3, і нехай Z - центр мас цієї системи матеріальних точок (властивість 1). Позначимо через С центр мас системи двох матеріальних точок m 1 A 1 і m 2 А 2. Тоді, згідно (1),
m 1 СA 1 + m 2 СA 2=(2)
Далі, відповідно до властивості 3, центр мас всієї системи m 1 A 1, m 2 А 2, m 3 A 3 збігається (рис. 2) з центром мас сукупності двох матеріальних точок (m 1 + m 2) С і m 3 А 3, т. е. (згідно (1))
(m 1 + m 2) ZC + m 3 ZA 3 =. (3)
Рис. 2
Але ми маємо (m 1 + m 2)=m 1 + m 2=m 1 (-) + m 2 (-)=ml + m 2 - (m 1 + m 2)= m 1 + m 2
(див. рівність (2)), і тому рівність (3) приймає вигляд
m 1 + m 2 + m 3 =. (4)
Отже, якщо ми хочемо, щоб виконувалася також властивість 3, то центром мас трьох матеріальних точок m 1 А 1, m 2 А 2, m 3 А 3 повинна бути така точка Z, що справедливо рівність ( 4).
Можна було б аналогічно розглянути випадок чотирьох і більше матеріальних точок, але рівності (1) і (4) роблять закономірність вже абсолютно зрозумілою. Отже, згідно з наведеним евристичним розбором ми приймаємо наступне основне
Визначення. Центром мас (або барицентра) системи матеріальних точок
m 1 А 1, m 2 А 2, ..., mn А n. (5)
називається точка Z, для якої має місце рівність
m 1 + m 2 + ... + m n =. (6)
Зрозуміло, попередні міркування не можна розглядати як доказ рівності (6) - ці міркування мали лише навідне характер, а рівність (6) є визначенням, і тому «доводити» його справедливість безглуздо. Виходячи з визначення (6), ми тепер строго доведемо, що центр мас системи матеріальних точок дійсно володіє властивостями 1 - 3. Цим і буде здійснено чисто математичне (не пов'язане з фізичними уявленнями) введення поняття центру мас і обгрунтування його властивостей.
Замість слів «центр мас системи матеріальних точок» (5) говорять також «центр мас m 1, m 2, ..., mn, поміщених відповідно в точках А 1, А 2, ... , А n ». Центр рівних мас, поміщених в вершинах багатокутника (або багатогранника), прийнято називати центроїдом цього багатокутника (або багатогранника). Зокрема, по теоремі Архімеда точка перетину медіан трикутника є його центроїдом.
Теорема 1. А) Якщо точка Z служить центром мас системи матеріальних точок (5), то при будь-якому виборі в просторі точки О справедливо рівність
=. (7)
Б) Зворотно: якщо хоча б при одному виборі в просторі точки О вірно рівність (7), то точка Z - центр мас системи (5).
Доказ. Обмежимося випадком n=2 (при n gt; 2 доказ аналогічно). А) Виберемо довільно точку О. Рівність
m 1 + m 2=
можна переписати так:
m 1 (-) + m 2 (-) =,
звідки і випливає необхідну рівність
=.
Проводячи міркування у зворотному порядку, отримуємо твердження Б).
Слідство 1. Всяка система, що складається з кінцевого числа матеріальних точок, має однозначно певний центр мас (т. е. справедливо властивість 1).
Справді, виберемо довільну точку О. Тоді положення точки Z однозначно визначається формулою (7).
Доведемо тепер, що з визначення центру мас (див. (1)) випливає також справедливість властивості 2.
Теорема 2. Центр мас двох матеріальних точок розташований на відрізку, що з'єднує ці точки; його положення визначається архімедовим правилом важеля: m 1 d 1=m 2 d 2.
Доказ. Нехай Z -центр мас системи двох матеріальних точок m 1 А 1 і m 2 А 2. Тоді (див. (6))
m 1 + m 2 =,
т. е. m 1=- m 2. З цього видно, що вектори і протилежно спрямовані,...
