Міністерство освіти і науки Російської Федерації
ФГБОУ ВПО «Сиктивкарський державний університет»
Інститут точних наук та інформаційних технологій
Кафедра прикладної математики
Курсова робота
на тему: «Диференціальні рівняння»
Робочий зошит для проведення практичних занять та забезпечення самостійної роботи з дисципліни «Математика»
Сиктивкар 2012
Зміст
Введення
1. Допоміжні відомості
1.1 Похідна функції
1.2 Диференціал
1.3 Похідні основних елементарних функцій
1.4 Правила диференціювання
2. Диференціальні рівняння
2.1 Поняття диференціального рівняння
2.2 Теорема 1 (умови існування та єдиності задачі коші)
2.3 Неповні ду першого порядку
2.4 Ду із перемінними
2.5 Однорідні ду
2.6 Лінійні ду першого порядку
2.7 Ду другого порядку, що допускають зниження порядку
2.8 Лінійні ду другого порядку з постійними коефіцієнтами
2.9 Однорідні лінійні ду 2-го порядку з постійними коефіцієнтами
2.10 Неоднорідні лінійні ду 2-го порядку з постійними коефіцієнтами
2.11 Система диференціальних рівнянь
2.12 Використання диференціальних рівнянь для вирішення економічних завдань
3. Тест
Використана література
Введення
Мета даної робочої зошити - методичне забезпечення роботи студентів на практичних заняттях і самостійної роботи студентів.
У кожному розділі вказівок
наведено теоретичні відомості, включаючи визначення, властивості, правила, формули;
наведені приклади;
наведено список вправ, до всіх вправ наведено відповіді (всі вправи були прорешени);
наведено п'ять варіантів контрольної роботи і тест з варіантами відповідей для спільної перевірки знань студентів;
1. Допоміжні відомості
1.1 Похідна функції
Розглянемо функцію. Нехай - довільна точка, що лежить в деякій околиці фіксованої точки. Різниця називається приростом незалежної змінної (або приростом аргументу) в точці і позначається. Таким чином,, звідки випливає, що ..
Кажуть також, що початкове значення аргументу отримало приріст. Внаслідок цього значення функції зміниться на величину
.
Ця різниця називається приростом функції в точці, відповідним приросту і позначається, т. е. за визначенням
, звідки.
правостороннього похідної функції в точці називається кінцевий межа (якщо він існує) відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля справа
.
лівостороннього похідної функції в точці називається кінцевий межа (якщо він існує) відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля зліва
.
Якщо ліва і права похідні в точці існують і рівні між собою, то кажуть, що в точці існує похідна функції.
Похідній функції в точці називається кінцевий межа (якщо він існує) відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля
.
Приклад 1.
Знайти приріст функції при.
Рішення.
.
Приклад 2.
Знайти ліву і праву похідні для функції y=| x | в x=0. З'ясувати чи існує в цій точці похідна.
Рішення.
похідна в цій точці не визначена.
Приклад 3.
Знайти похідну функції в точці, використовуючи визначення.
Рішення.
Вправи.
) Знайти приріст аргументу і приріст функції в точці
) Знайти приріст функції при
) Знайти похідну функції в точці.
Відповіді до вправ.
) 2) 3).
. 2 Диференціал
Диференціал - лінійна частина приросту функції або відображення; тісно пов'язаний з поняттям похідної за напрямком; зазвичай диференціал позначається, а його значення в ...
