точці позначається. і обчислюється за формулою.
Приклад.
Знайти диференціал функції.
Рішення.
.
Вправи.
Знайти диференціали першого порядку:
)
).
Відповіді до вправ.
) 2).
1.3 Похідні основних елементарних функцій
Таблиця 1. Похідні основних елементарних функцій
f (x)
1.4 Правила диференціювання
Таблиця 2. Правила диференціювання
Похідна алгебраїчної суми функцій Похідна добутку функцій Похідна приватної функцій Похідна складної функцій
Приклад 1.
Знайти похідну (винос постійного числа за знак похідної)
Рішення.
.
Приклад 2. Знайти похідну приватного функції.
Рішення.
Вправи.
Обчислити похідну функції:
)
)
).
Відповіді вправам.
) 2) 3).
диференційний рівняння економічний
2. Диференціальні рівняння
2.1 Поняття диференціального рівняння
Диференціальне рівняння --- це рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції. Якщо функція залежить від однієї змінної, то це звичайне диференціальне рівняння (ДУ), якщо від декількох --- то рівнянням в приватних похідних (УЧП).
Диференціальне рівняння n-го порядку записується у вигляді:
.
Звичайним ДУ першого порядку є рівняння виду:
рівнянням в приватних похідних першого порядку є рівняння виду:
;
рівнянням -го порядку, дозволеним відносно старшої похідної є рівняння виду:
.
Рішенням диференціального рівняння називається така функція, яка при підстановці її в дане рівняння звертає його в тотожність. Задача про знаходження рішення деякого диференціального рівняння --- задача інтегрування даного диференціального рівняння.
Загальне рішення ДУ --- це таке його рішення,, яке є функцією незалежної змінної і довільних постійних, число яких одно порядку рівняння.
Приватне рішення ДУ --- це рішення, що отримується з спільного рішення, при деяких конкретних числових значеннях довільних постійних.
2.2 Теорема 1 (умови існування та єдиності задачі Коші)
Завдання Коші:
Нехай в ДУ (*) права частина і її похідна по безупинні на відкритій множині координатної площини ОХУ. Тоді справедливі твердження:
. Для всякої точки з відкритого безлічі знайдеться рішення рівняння (*), що задовольнить початковому умові (**)
. Якщо два рішення і рівняння (*) збігаються хоча б для одного значення тобто якщо то ці рішення збігаються при всіх значеннях змінної, для яких вони визначені.
Приклади.
. Це ДУ першого порядку. Загальне рішення. Умова Теореми 1 виконано для всієї OXY. Рішенням задачі Коші з початковими умовами є функція.
. Це ДУ першого порядку. Загальне рішення ДУ. Умова Теореми 1 для всієї OXY не виконана (тому приватна похідна не існує при). Тому єдність розв'язку порушується в точці.
Вправи.
1) Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початковому умові.
) Знайти рішення задачі Коші для даного диференціального рівняння,.
Відповіді до вправ.
). 2).
2.3 Неповні ДУ першого порядку
або. Рішення виглядає так.
або. Рішення виглядає так.
Приклади.
)
).
Вправи.
1)
).
Відповіді до вправ.
) 2).
. 4 ДУ із перемінними
або.
Тоді.
Приклад.
.
Вправи.
)
).
Відповіді до вправ.
) 2).
2.5 Однорідні ДУ
Зробимо заміну
Функція --- однорідна -го порядку (ступеня), якщо
Функція в рівнянні --- однорідна нульової ступеня.
